1、 2019 届重庆市第一中学 高三 10 月月考数学（文）试题 数数学学 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、单选题一、单选题 1已知集合 = |1 1， = 1,0,12，则 = A1,0,12 B12 C1,12
2、D 2函数() = sin2 + cos2的最小正周期为 A4 B2 C D2 3设 ，则“ 3”是“函数 = log在定义域上为增函数”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4已知实数 0, ，则下列不等式中成立的是 A(12) 2 C D+ 5已知sin = 3sin(2+ )，则tan( +4)的值为 A2 B2 C12 D12 6存在实数，使得不等式2 + 1 . 此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 （1）求边； （2）如图，延长至点，使 = 22，连接，点为线段中点，求sinsin。 18如图，三棱柱 111中，侧面11是菱形
3、，其对角线的交点为，且 = 1， 1. （1）求证： 平面11； （2）若1= 2，且1 = 1 = 60，求三棱锥1 的体积. 19 如图， 已知圆:2+ ( 2)2= 4， 抛物线的顶点为(0,0)， 准线的方程为 = 1， (0,0)为抛物线上的动点，过点作圆的两条切线与轴交于,. （）求抛物线的方程； （）若0 4，求面积的最小值. 20已知函数() = ln. （1）求函数()的极值； （2）当0 1时，求证：() 3，求实数的取值范围； （2）证明： 时，() + (1) 6。 2019 届重庆市第一中学 高三 10 月月考数学（文）试题 数数学学 答答 案案 参考答案参考答案 1
4、B 【解析】 【分析】 首先求得结合 A，然后进行交集运算即可. 【详解】 求解分式不等式1 1可得：0 1，则 = |0 1， 由于“ 3”是“ 1”的充分不必要条件， 故“ 3”是“函数 = log在定义域上为增函数”的充分不必要条件. 本题选择 A 选项. 【点睛】 本题主要考查对数函数的性质，充分性与必要性的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 4A 【解析】 【分析】 由题意分别考查题中的不等式是否成立即可. 【详解】 指数函数() = (12)在上单调递减，由于 0，故 (12) 0，故2 0，求解二次不等式可得实数的取值范围是(,2) (2,+). 本题选择 D 选
5、项. 【点睛】 本题主要考查二次函数恒成立问题，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 7C 【解析】 【分析】 由题意利用递推关系裂项求解20的值即可. 【详解】 由题意可得： 1=1(+1)=11+1， 则：20= 1+ (2 1) + (3 2) + + (20 19) = 1 + (1213) + (1314) + + (120121) =6142. 本题选择 C 选项. 【点睛】 本题主要考查数列的递推关系，累加法求通项等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 8A 【解析】由27= 8+ 5,6= 5，11=(1+11)112= 116= 55. 故
6、选：A. 9D 【解析】 【分析】 由题意首先确定函数的周期性，然后结合函数的性质求解函数值即可. 【详解】 我们有如下结论： 若函数()是奇函数，且( + )是偶函数，则函数()是周期函数，它的一个周期 = 4. 证明如下： 函数()为奇函数，则() = ()， ( + )是偶函数，则( + ) = ( + )，据此可得： () = () = ( ) + = ( )+ = ( + 2) = ( 2) = ( 3) + = ( 3) + = ( + 4). 据此即可证得上述结论. 据此结论可知题中所给函数的周期为 = 8， 则(8) = (0) = 0，(9) = (1) = 2，(2019)
7、 = (3) = (1) = 2， 据此可得：(8) + (9) + (2019) =4. 本题选择 D 选项. 【点睛】 本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 10C 【解析】 【分析】 由2= 2,+12= 2+ + 1( )得到an=n， 任意的 ，1+1+1+2+1+3+ +1+2 0恒成立等价于1+1+1+2+1+3+ +1+n 2，利用作差法求出g() =1+1+1+2+1+3+ +1+2的最小值即可. 【详解】 当 n=1 时，22= 21+ 1 + 1，又2= 2，1= 1 an+12=2Sn+n+1，当 n2 时，an2=2Sn
8、1+n，两式相减可得：an+12an2=2an+1， an+12=（an+1）2， 数列an是各项均为正数的数列，an+1=an+1，即 an+1an=1， 显然 n=1 时，适合上式 数列an是等差数列，首项为 1，公差为 1 an=1+（n1）=n 任意的 ，1+1+1+2+1+3+ +1+ 2 0恒成立， 即1+1+1+2+1+3+ +1+n 2恒成立 记g() =1+1+1+2+1+3+ +1+ g( + 1) g() = (1+2+1+3+ +1+n+1+1+1+2) (1+1+1+2+1+3+ +1+)， =1+1+1+21+1=12+1+12+222+2=12+112+20， g
9、()为单调增数列，即g()的最小值为g(1) =12 12 2，即 14 故选：C 【点睛】 已知求的一般步骤：（1） 当 = 1时， 由1= 1求1的值；（2） 当 2时， 由= 1，求得的表达式；（3）检验1的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式. 11D 【解析】 【分析】 首先分析函数()的性质，然后换元后分离参数求解实数的取值范围即可. 【详解】 由函数()的解析式可得函数为偶函数， 当 0时，() =，() =1， 由导函数研究函数的单调性可得， 函数()在区间(0,1)上单调递增， 在区间(1,+)上单调递减，且当 0时，() = 0，函数的最大
10、值为(1) =1， 据此绘制函数()的图象如图所示， 令 = ()，原问题等价于关于的方程2 ( + 2) + 2 = 0在区间(0,1)上存在唯一的实数根； 整理可得： =22+2+1，令() =22+2+1(0 1)，则() =2+24(+1)2， 由二次函数的性质易知() sin ， = 4. （2）如图， 为中点， = ， 故12| |sin =12| |sin, 即sinsin=|= 2 【点睛】 解三角形的基本策略 一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用
11、正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 18（1）见解析； （2）1. 【解析】 【分析】 （1)由题意结合线面垂直的判断定理证明题中的结论即可； （2）结合棱锥的特征转化顶点，利用1= 1求解三棱锥的体积即可. 【详解】 （1)四边形11是菱形，1 1, 1, 1= , 1 平面1，又 平面1，1 = 1,是1的中点， 1，1 1= ， 平面11. （2）菱形11的边长为2，又1 = 60, 1是等边三角形，则1 = 2. 由（1）知， 1，又是1的中点， 1= ， 又1 = 60, 1是等边三角形，则 = 1= 1 = 2.在中， =2 2=32 2 = 3， 1= 1=1
12、31 =1312 2 2 120 3 = 1 . 【点睛】 求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积 19(1)2= 4. (2)32. 【解析】分析：（）根据抛物线的准线方程可得，故抛物线的方程可求出. （）求出过(0,0)的圆的切线,的方程后可得,两点的横坐标，它们可用0,0及其相应的斜率表示，因此也与这三者相关.再利用圆心到直线的距离为半径得到斜率满足的方程，利用韦达定理和02= 40消元后可用关于0的函数表示，求出该函数的最小值即可. 详解：（）设抛物线的方程为2= 2( 0)， 则2=
13、 1， = 2，所以抛物线的方程是2= 4. （）设切线 0= ( 0)，即 + 0 0= 0， 切线与轴交点为(00,0)，圆心到切线的 距离为 =|2+00|2+1= 2，化简得(02 4)2+ 20(2 0) + 02 40= 0 设两切线斜率分别为1,2，则1+ 2= 20(20)024,12=0240024,0 4 =12|(001) (002)| 0=12|1 2|12| 02=2002+ 02 400 4=2020 4 =21604+ (0 4) + 8 32，当且仅当0= 8时取等号. 所以切线与轴围成的三角形面积的最小值为 32. 点睛：圆锥曲线中的最值问题，往往需要利用韦达
14、定理构建目标的函数关系式，自变量可以斜率或点的横、纵坐标等.而目标函数的最值可以通过基本不等式或导数等求得. 20（1） =1时取得极小值(1) = 1，无极大值； （2）见解析. 【解析】 【分析】 （1）首先求得导函数，然后确定函数的单调性，据此求解函数的极值即可； （2） 解法一： 原问题等价于证明 1 ， 构造函数() = ， () = 1 ，通过证明() 0,() = + 1= + 1， 由,() 0得 1；由,() 0得0 1。 故当 =1时取得极小值(1) = 1，无极大值。 （2） 解法一： 若0 0， 要证() 2+ (1 ) ， 即证 0，解得0 0，解得 ， 故()在(,
15、+)上单调递增，在(0,)上单调递减， () () = 1 1， 又因为0 1 1， 即() ()， 所以 1 ， 即() 2+ (1 ) 。 解法二：令() = + 2 (1 )，则() = +1 2 + ， 令() = +1 2 + ， 则() =22+12 0，(1) = 1 0，当 (0,+)时，() 0，所以()在(1,1)单调递增，所以(0) (1) = 1 0， 故() (0) 0，即() 2+ (1 ) ，所以若0 1，则() 2+ (1 ) 【点睛】 导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突
16、出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用 21（1）:2+23= 1,: + 4 = 0； （2）2. 【解析】 【分析】 (1)将极坐标方程转化为直角坐标方程即可； (2)首先设出 Q 点的坐标，然后利用点到直线距离公式和三角函数的性质确定 d 的最小值即可. 【详解】 （1）极坐标转化为直角坐标方程可得:2+23= 1,: + 4 = 0. （2）设(,3)，则点到直线的距离： =|+34|2=|2(+6)4|222= 2， 当且仅当 +6= 2 +2,即=2 +3时取得最小值2. 【点睛】 直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式 = cos = sin ，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式2= 2+ 2tan = ， 后者也可以把极坐标方程变形尽量产生2， cos,sin以便转 化另一方面，当动点在圆锥曲线
