1、联合分布函数与边缘分布函数的关系联合分布函数与边缘分布函数的关系3.2 边缘分布边缘分布 由联合分布律求边缘分布函数由联合分布律求边缘分布函数 由联合概率密度求连续型由联合概率密度求连续型r.v.的边缘分布函数的边缘分布函数由由(X,Y)的联合分布律的联合分布律PXxi,Yyjpij，i,j1,2,二、二、二维离散型随机变量的边缘分布律二维离散型随机变量的边缘分布律1x1 xi pip1pip jp1p jyjy1XY 联合分布律联合分布律及及边缘分布律边缘分布律三、连续型随机变量的边缘概率密度三、连续型随机变量的边缘概率密度同理可得同理可得Y 的边缘概率密度的边缘概率密度解解例例5例例6 设
2、设( (X,Y) )在区域在区域 上服从上服从均匀分布均匀分布, ,求求( (X,Y) )关于关于X和和Y的边缘概率密度的边缘概率密度. .例例7令令【结论结论】二二维维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布布, 并且都不依赖于参数并且都不依赖于参数 . . 【说明说明】 对于确定的对于确定的 1, 2, 1, 2, 当当 不同时不同时, 对应对应了不同的二维正态分布了不同的二维正态分布. 在下一章将指出在下一章将指出, 对于二维正对于二维正态分布而言态分布而言, 参数参数 正好刻画了正好刻画了X和和Y之间关系的密切程之间关系的密切程度度. .即即联合分布联
3、合分布 边缘分布边缘分布 【结论结论】 在什么情况下，由边缘分布可以唯一确定联合分布呢？在什么情况下，由边缘分布可以唯一确定联合分布呢？思考思考 边缘分布均为正态分布的随机变量边缘分布均为正态分布的随机变量, 其联合分布其联合分布一定是二维正态分布吗一定是二维正态分布吗?问题问题3.3 条件分布条件分布一、离散型随机变量的条件分布一、离散型随机变量的条件分布 定义定义【说明说明】 条件分布的本质是条件概率条件分布的本质是条件概率, 离散型离散型r.v.X在在Y=yj发发生的条件下的条件分布律生的条件下的条件分布律, 就是在就是在Y=yj发生条件下将发生条件下将X每一个可能取值及取值的条件概率列
4、出每一个可能取值及取值的条件概率列出.条件分布律满足分布律的充要条件条件分布律满足分布律的充要条件:u类似乘法公式类似乘法公式(求联合分布律求联合分布律)u类似全概率公式类似全概率公式(求边缘分布律求边缘分布律)u类似逆概公式类似逆概公式(求条件分布律求条件分布律)【练习练习】已知已知(X,Y)的联合分布律的联合分布律XY0120123/283/289/281/145/141/28000求求:Y=1时时, X的条件分布律的条件分布律.例例1 把三个球等可能地放入编号为把三个球等可能地放入编号为 1, 2, 3 的三个盒子的三个盒子中中, 每盒可容球数无限每盒可容球数无限. 记记 X 为落入为落
5、入 1 号盒的球数号盒的球数, Y 为落入为落入 2 号盒的球数，求号盒的球数，求 (1) 在在Y = 0 的条件下，的条件下，X 的条件分布律；的条件分布律； (2) 在在 X = 2 的条件下，的条件下，Y 的条件分布律的条件分布律.例例2 一射手进行射击一射手进行射击, 每次击中目标的概率为每次击中目标的概率为p(0p1),射击到击中目标两次为止射击到击中目标两次为止. 设以设以X 表示首次击中目标所进表示首次击中目标所进行的射击次数行的射击次数, 以以Y 表示总共进行的射击次数表示总共进行的射击次数. 试求试求 X 和和 Y 的联合分布律的联合分布律及条件分布律及条件分布律.二、连续型
6、随机变量的条件分布二、连续型随机变量的条件分布 定义定义 给定给定y, 对于任意固定的对于任意固定的 若对于任意实数若对于任意实数x, 极限极限存在存在, 则称此极限为则称此极限为在条件在条件Y=y下下, X的条件分布函数的条件分布函数, 记作记作【引言引言】在条件分布中在条件分布中, ,作为条件的随机变量的取值作为条件的随机变量的取值是确定的数是确定的数. .但是但是当当Y 是连续型是连续型r.v.时时, 条件分布不能条件分布不能用用 直接定义直接定义, 因为因为 , 我我们只能讨论们只能讨论Y取值在取值在y附近的条件下，附近的条件下，X的条件分布的条件分布.连续连续连续连续同理同理, 当当
7、 时时, 则则【说明说明】仅是仅是 x 的函数的函数, 此时此时y是常数是常数. u u 类似于乘法公式类似于乘法公式(求联合概率密度求联合概率密度)u 条件概率密度满足概率密度的充要条件条件概率密度满足概率密度的充要条件:u 利用条件概率密度可计算利用条件概率密度可计算Y=y条件下条件下, 与与X有关的事有关的事件的条件概率件的条件概率:u 类似于全概率公式类似于全概率公式(求边缘概率密度求边缘概率密度)u 类似于类似于Bayes公式公式(求条件概率密度求条件概率密度)u联合分布、边缘分布、条件分布的关系联合分布、边缘分布、条件分布的关系联合分布联合分布边缘分布边缘分布条件分布条件分布联合分布联合分布例例3 已知已知(X,Y )服从圆域服从圆域 x2 + y2 r2 上的均匀分布上的均匀分布, 求求rx-r例例4 已知已知 , 求求 .解解同理，同理，【说明说明】二维正态分布的条件分布仍为正态分布二维正态分布的条件分布仍为正态分布. .例例5 设设求求y = x11例例6 已知已知求求y = x11
