1、第二课数列【网络体系网络体系】【核心速填核心速填】1.1.数列的通项与前数列的通项与前n n项和的关系项和的关系(1)S(1)Sn n=a=a1 1+a+a2 2+ +a+an n. .(2)a(2)an n= =2.2.等差数列等差数列(1)(1)通项公式：通项公式：a an n=a=a1 1+_+_，a an n=a=am m+_.+_.(2)(2)前前n n项和公式：项和公式：S Sn n=_=_=_=_ _._.(n-1)d(n-1)d(n-m)d(n-m)d(3)(3)等差中项：若等差中项：若a a，A A，b b成等差数列，则成等差数列，则A A叫作叫作a a，b b的的等差中项，
2、且有等差中项，且有_._.(4)(4)常用性质：常用性质：若若m+n=p+q(mm+n=p+q(m，n n，p p，qNqN* *) )，则，则_；在等差数列在等差数列aan n 中，中，S Sk k，S S2k2k-S-Sk k，_，成等差成等差数列数列. .a+b=2Aa+b=2Aa am m+a+an n=a=ap p+a+aq qS S3k3k-S-S2k2k(5)(5)等差数列的判断等差数列的判断定义式：定义式：_=d(d_=d(d为常数为常数) )；等差中项：等差中项：a an n+a+an+2n+2=_=_；通项公式：通项公式：a an n=dn+b=dn+b；前前n n项和：项
3、和：S Sn n=an=an2 2+bn.+bn.a an+1n+1-a-an n2a2an+1n+13.3.等比数列等比数列(1)(1)通项公式：通项公式：a an n=_=_，a an n=_.=_.(2)(2)前前n n项和公式：项和公式：S Sn n= =a a1 1q qn-1n-1a am mq qn-mn-m(3)(3)等比中项：若等比中项：若a a，G G，b b成等比数列，则成等比数列，则G G叫作叫作a a，b b的的等比中项，且有等比中项，且有G G2 2=_=_或或G=_.G=_.(4)(4)等比数列的性质：等比数列的性质：若若m+n=p+q(mm+n=p+q(m，n
4、n，p p，qNqN* *) )，则，则_；在等比数列在等比数列aan n 中，中，S Sk k，S S2k2k-S-Sk k，S S3k3k-S-S2k2k，成等比成等比数列数列.(q-1).(q-1)ababa am ma an n=a=ap pa aq q(5)(5)等比数列的判断：等比数列的判断：定义式：定义式：_(q_(q为非零常数为非零常数) )；等比中项：等比中项：a an na an+2n+2=_=_；通项公式：通项公式：a an n=aq=aqn n(a(a，q q为非零常数为非零常数) )；前前n n项和：项和：S Sn n=A-Aq=A-Aqn n(A(A为非零常数，为非
5、零常数，q0q0且且q1).q1).【易错提醒易错提醒】1.1.关注关注a an n与与S Sn n的关系式的应用的关系式的应用应用应用a an n= = 解题时，应注意分类讨论的应解题时，应注意分类讨论的应用，即要注意分用，即要注意分n=1n=1和和n2n2两种情况进行讨论两种情况进行讨论. .2.2.重视等差重视等差( (比比) )数列的定义数列的定义等差等差( (比比) )数列的定义中都强调从第数列的定义中都强调从第2 2项开始，每一项与项开始，每一项与前一项的差前一项的差( (比比) )，是同一常数，是同一常数. .利用定义法证明等差利用定义法证明等差( (比比) )数列时，要特别注意
6、数列时，要特别注意n n的取值范围的取值范围. .3.3.忽视等比数列项的符号忽视等比数列项的符号等比数列中，奇数项等比数列中，奇数项( (或偶数项或偶数项) )的符号相同，解题时的符号相同，解题时常因忽略这点而致误常因忽略这点而致误. .4.4.求等比数列的前求等比数列的前n n项和时注意分类讨论项和时注意分类讨论在等比数列的公比不确定的情况下，求其前在等比数列的公比不确定的情况下，求其前n n项和时应项和时应对公比分对公比分q=1q=1和和q1q1两种情况进行讨论两种情况进行讨论. .5.5.找规律，找规律，“数清数清”数列的项数数列的项数在解答数列问题时，及时准确地在解答数列问题时，及时
7、准确地“数清数清”数列的项数数列的项数是必不可少的，在数项数时，要把握数列的项的构成是必不可少的，在数项数时，要把握数列的项的构成规律，找准数列的通项公式的特点并找准项数规律，找准数列的通项公式的特点并找准项数. .如果把如果把数列的项数弄错了，将会前功尽弃数列的项数弄错了，将会前功尽弃. .类型一类型一 数列通项公式的求法数列通项公式的求法【典例典例1 1】(1)(1)若数列若数列aan n 的前的前n n项和项和S Sn n=2=2n n-1-1，则此数列，则此数列的通项公式为的通项公式为a an n=_.=_.(2)(2)写出下面各递推公式表示的数列写出下面各递推公式表示的数列aan n
8、 的通项公式的通项公式. .aa1 1=1=1，a an+1n+1=2=2n na an n(n1)(n1)；a a1 1=2=2，a an+1n+1=a=an n+3n+2.+3n+2.【解析解析】(1)(1)当当n2n2时，时，a an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1=(2=(2n n-1)-(2-1)-(2n-1n-1-1)=2-1)=2n n-2-2n-1n-1=2=2n-1n-1. .当当n=1n=1时，时，a a1 1=S=S1 1=2=21 1-1=1-1=1，适合上式，适合上式. .综上有综上有a an n=2=2n-1n-1. .答案：答案：2 2n-1n-1(2)(2
9、)方法一：因为方法一：因为a an+1n+1=2=2n na an n，所以，所以所以所以将上述将上述n-1n-1个式子累乘，得个式子累乘，得 =2=21+2+3+1+2+3+(n-1)+(n-1)，即即a an n= (nN= (nN* *).).方法二方法二：a an+1n+1=2=2n na an n=2=2n n2 2n-1n-1a an-1n-1= =2=2n n2 2n-1n-12 22 22 21 1a a1 1=2=21+2+1+2+n-1+n+n-1+na a1 1= =所以所以a an n= =因为因为a an+1n+1=a=an n+3n+2+3n+2，所以，所以a an
10、 n-a-an-1n-1=3n-1(n2).=3n-1(n2).所以所以a an n=(a=(an n-a-an-1n-1)+(a)+(an-1n-1-a-an-2n-2)+)+(a+(a2 2-a-a1 1)+a)+a1 1= (n2).= (n2).当当n=1n=1时，时， (3(31+1)=2=a1+1)=2=a1 1，a a1 1符合公式，符合公式，所以所以a an n= =【延伸探究延伸探究】典例典例1(1)1(1)中的条件中的条件“S Sn n=2=2n n-1-1”改为改为“S Sn n=3n=3n2 2-2n+1-2n+1”，结果如何，结果如何？【解析解析】当当n=1n=1时，
11、时，a a1 1=S=S1 1=3=31 12 2-2-21+1=21+1=2；当当n2n2时，时，a an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1=3n=3n2 2-2n+1-3(n-1)-2n+1-3(n-1)2 2-2(n-1)+1=6n-5-2(n-1)+1=6n-5，显然当显然当n=1n=1时，不满足上式时，不满足上式. .故数列的通项公式为故数列的通项公式为a an n= =【方法技巧方法技巧】数列通项公式的求法数列通项公式的求法(1)(1)定义法，即直接利用等差数列或等比数列的定义求定义法，即直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适用于已知数列类型通项的方法
12、叫定义法，这种方法适用于已知数列类型的题目的题目. .(2)(2)已知已知S Sn n求求a an n. .若已知数列的前若已知数列的前n n项和项和S Sn n与与a an n的关系，的关系，求数列求数列aan n 的通项的通项a an n可用公式可用公式a an n= = 求解求解. .(3)(3)累加或累乘法累加或累乘法形如形如a an n-a-an-1n-1=f(n)(n2)=f(n)(n2)的递推式，可用累加法求通项的递推式，可用累加法求通项公式；形如公式；形如 =f(n)(n2)=f(n)(n2)的递推式，可用累乘法求的递推式，可用累乘法求通项公式通项公式. .【拓展延伸拓展延伸】
13、用待定系数法由递推公式求通项公式用待定系数法由递推公式求通项公式(1)(1)基本思路基本思路把所给的递推关系变形，使之成为某个等差数列或等把所给的递推关系变形，使之成为某个等差数列或等比数列的形式，于是就可以由此推得所给数列的通项比数列的形式，于是就可以由此推得所给数列的通项公式公式. .(2)(2)具体方法具体方法在递推关系两边加上相同的数或相同性质的量，构造在递推关系两边加上相同的数或相同性质的量，构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差或等比数列成为等差或等比数列. .例如例如a an n=ca=can-1n-1+d(c0+
14、d(c0，c1)c1)的的递推关系式，在递推关系式两端同时加上递推关系式，在递推关系式两端同时加上A A，a an n+A=ca+A=can-1n-1+d+A+d+A，即，即a an n+A=+A=令令A= A= ，解出，解出A A，此时数列，此时数列aan n+A+A是等比数列，可解是等比数列，可解. .【变式训练变式训练】若若a a1 1=1=1，S Sn n= a= an n，则通项，则通项a an n=_.=_.【解析解析】由题设知，由题设知，a a1 1=1.=1.当当n2n2时，时，a an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1= =所以所以所以所以以上以上n-1n-1个式子的等号
15、两端分别相乘，个式子的等号两端分别相乘，得到得到又因为又因为a a1 1=1=1，所以，所以a an n= =a a1 1=1=1也符合此式，所以也符合此式，所以a an n= =答案：答案：类型二类型二 等差数列、等比数列的判定等差数列、等比数列的判定【典例典例2 2】(1)(1)已知数列已知数列aan n ，则有，则有( () )A.A.若若a an n2 2=4=4n n，nNnN* *，则，则aan n 为等比数列为等比数列B.B.若若a an na an+2n+2= = ，nNnN* *，则，则aan n 为等比数列为等比数列C.C.若若a am ma an n=2=2m+nm+n，
16、m m，nNnN* *，则，则aan n 为等比数列为等比数列D.D.若若a an na an+3n+3=a=an+1n+1a an+2n+2，nNnN* *，则，则aan n 为等比数列为等比数列(2)(2)在数列在数列aan n 中，中，a a1 1=-3=-3，a an n=2a=2an-1n-1+2+2n n+3(n2+3(n2，且，且nNnN* *).).求求a a2 2，a a3 3的值的值. .设设b bn n= (nN= (nN* *) )，证明：，证明：bbn n 是等差数列是等差数列. .【解析解析】(1)(1)选选C.C.若若a a1 1=-2=-2，a a2 2=4=4，a a3 3=8=8，满足，满足a an n2 2=4=4n n，nNnN* *，但，但aan n 不是等比数列，故不是等比数列，故A A错；若错；若a an n=0=0，满足，满足a an na an+2n+2= = ，nNnN* *，但，但aan n 不是等比数列，故不是等比数列，故B B错；错；若若a an n=0=0，满足，满足a an na an+3n+3=a=an+1n+1a an+
