1、第2课时等差数列的性质1.1.掌握等差数列的性质，能用性质解决一些实际问题掌握等差数列的性质，能用性质解决一些实际问题. .2.2.能用等差数列的知识解决一些应用问题能用等差数列的知识解决一些应用问题. .等差数列的性质等差数列的性质aan n 是公差为是公差为d d的等差数列，的等差数列，若正整数若正整数m m，n n，p p，q q满足满足m+n=p+qm+n=p+q，则：，则：a am m+a+an n=_.=_.a ap p+a+aq q1.1.已知等差数列已知等差数列aan n 中，中，a a7 7+a+a9 9=16=16，a a8 8等于等于( () )A.8A.8B.16B.1
2、6C.24C.24D.32D.32【解析解析】选选A.A.因为因为a a7 7+a+a9 9=2a=2a8 8=16=16，故，故a a8 8=8.=8.2.2.数列数列aan n 是等差数列，公差为是等差数列，公差为d d，则数列，则数列2a2an n 的公差是的公差是. .【解析解析】数列数列2a2an n 的公差是的公差是2d.2d.答案：答案：2d2d3.3.数列数列aan n 是等差数列，是等差数列，a a3 3+a+a5 5=a=a2 2+ +=2=2. .【解析解析】利用等差数列的性质，因为利用等差数列的性质，因为3+5=2+6=23+5=2+6=24 4，所以，所以a a3 3
3、+a+a5 5=a=a2 2+a+a6 6=2a=2a4 4. .答案：答案：a a6 6a a4 4一、等差数列的性质一、等差数列的性质结合等差数列的性质：结合等差数列的性质：m+n=p+qm+n=p+qa am m+a+an n=a=ap p+a+aq q，探究下列问题：，探究下列问题：探究探究1 1：该性质反过来是否成立？：该性质反过来是否成立？提示：提示：不一定，当数列不一定，当数列是常数列时，结论不成立；当数列是非是常数列时，结论不成立；当数列是非常数列的等差数列时，结论成立常数列的等差数列时，结论成立. .探究探究2 2：特别地，若：特别地，若m+n=2p(mm+n=2p(m，n
4、n，pNpN* *) )，那么，那么a am m+a+an n=2a=2ap p是否是否成立？若成立？若m+n+p=q+r+s(mm+n+p=q+r+s(m，n n，p p，q q，r r，sNsN* *) )，是否有，是否有a am m+a+an n+a+ap p=a=aq q+a+ar r+a+as s成立？成立？提示：提示：成立成立. .因为当因为当m+n=2pm+n=2p时，时，a am m+a+an n=a=a1 1+(m-1)d+a+(m-1)d+a1 1+(n-1)d +(n-1)d =2a=2a1 1+(m+n-2)d=2a+(m+n-2)d=2a1 1+2(p-1)d=2a+
5、2(p-1)d=2ap p，同理可以证明若同理可以证明若m+n+p=q+r+s(mm+n+p=q+r+s(m，n n，p p，q q，r r，sNsN* *) )，有，有a am m+a+an n+a+ap p=a=aq q+a+ar r+a+as s成立成立. .【探究总结探究总结】等差数列的常用性质等差数列的常用性质(1)(1)在有穷等差数列中，与首末两项在有穷等差数列中，与首末两项“等距离等距离”的两项之和相的两项之和相等，且等于首末两项之和，即等，且等于首末两项之和，即a a1 1+a+an n=a=a2 2+a+an-1n-1= =a=ak k+a+an-k+1n-k+1. .(2)
6、(2)在等差数列在等差数列aan n 中，公差中，公差d d对任意的对任意的m m，nNnN* *且且mnmn，都有，都有d= d= (3)a(3)an n ，bbn n 均为等差数列，则均为等差数列，则aan nb bn n 也为等差数列也为等差数列. .(4)(4)若若kkn n 为等差数列，为等差数列，k kn nNN* *，aan n 为等差数列，则为等差数列，则 也也为等差数列为等差数列. .二、等差数列与一次函数二、等差数列与一次函数根据等差数列的通项公式根据等差数列的通项公式a an n=a=a1 1+(n-1)d+(n-1)d，思考下面问题：，思考下面问题：探究探究1 1：能否
7、把等差数列的通项公式化为一次函数？：能否把等差数列的通项公式化为一次函数？提示：提示：能能.a.an n=a=a1 1+(n-1)d=dn+(a+(n-1)d=dn+(a1 1-d)-d)，令，令d=a(ad=a(a为常数为常数) )，a a1 1-d =b(b-d =b(b为常数为常数) )，则等差数列的通项公式化为一次函数，则等差数列的通项公式化为一次函数a an n=an+b(nN=an+b(nN* *).).探究探究2 2：若数列的通项公式：若数列的通项公式a an n是是n n的一次函数，那么数列的一次函数，那么数列aan n 是是等差数列吗？等差数列吗？提示：提示：是是. .设设a
8、 an n=an+b(a=an+b(a，b b为常数为常数) )，则，则a an+1n+1=a(n+1)+b=a(n+1)+b，则，则a an+1n+1- -a an n=a(n+1)+b-an-b=a(=a(n+1)+b-an-b=a(常数常数) )，故数列，故数列aan n 是等差数列是等差数列. .【探究总结探究总结】等差数列的函数性质等差数列的函数性质(1)(1)当公差当公差d0d0时，等差数列时，等差数列aan n 的通项公式：的通项公式：a an n=a=a1 1+(n-1)d+(n-1)d=pn+q(=pn+q(其中其中p=d)p=d)是关于是关于n n的一次函数，表示数列的各点
9、的一次函数，表示数列的各点(n(n，a an n) )在一次函数在一次函数y=px+qy=px+q的图象上，且该直线的斜率为公差的图象上，且该直线的斜率为公差d.d.(2)(2)从图象的角度看，等差数列的图象是一条直线上孤立的从图象的角度看，等差数列的图象是一条直线上孤立的点，且斜率点，且斜率 (3)(3)等差数列的单调性取决于公差等差数列的单调性取决于公差d d的符号的符号. .【拓展延伸拓展延伸】等差数列与一次函数等差数列与一次函数y=kx+b(k0)y=kx+b(k0)的区别与联系的区别与联系等差数列等差数列一次函数一次函数解析式解析式a an n=an+b(nN=an+b(nN* *)
10、 )y=kx+by=kx+b不同点不同点定义域为定义域为N N* *，图象是直线上，图象是直线上一系列孤立的点一系列孤立的点定义域为定义域为R R，图象是一，图象是一条直线条直线相同点相同点等差数列的通项公式与函数的解析式都是关于自变等差数列的通项公式与函数的解析式都是关于自变量的一次函数，都是最简单的也是最基本的数列和量的一次函数，都是最简单的也是最基本的数列和函数函数类型一类型一等差数列性质的应用等差数列性质的应用1.1.已知等差数列已知等差数列aan n 满足满足a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+ +a+a101101=0=0，则有，则有( () )A.aA.a1 1+a+a10
11、110100B.aB.a2 2+a+a10110100d0的等差数列的等差数列aan n 的四个说法：的四个说法：p p1 1：数列：数列aan n 是递增数列；是递增数列；p p2 2：数列：数列nanan n 是递增数列；是递增数列；p p3 3：数：数列列 是递增数列；是递增数列；p p4 4：数列：数列aan n+3nd+3nd是递增数列，其中正确是递增数列，其中正确的为的为( () )A.pA.p1 1，p p2 2B.pB.p3 3，p p4 4C.pC.p2 2，p p3 3D.pD.p1 1，p p4 4【解题指南解题指南】1.1.本题可用通项公式求解或者利用一次函数图象本题可
12、用通项公式求解或者利用一次函数图象求解求解. .2.2.借助增函数的定义判断所给数列是否为递增数列借助增函数的定义判断所给数列是否为递增数列. .【自主解答自主解答】1.1.选选B.B.不妨设不妨设pqp0=d0，知数列，知数列aan n 是递增数是递增数列，正确列，正确. .p p2 2：数列：数列nanan n 是递增数列，由是递增数列，由(n+1)a(n+1)an+1n+1-na-nan n=(n+1)(a=(n+1)(a1 1+nd)-na+nd)-na1 1+(n-1)d+(n-1)d=a=a1 1+2nd+2nd，仅有，仅有d0d0是无法判断是无法判断a a1 1+2nd+2nd的
13、正负的，因而不能判定的正负的，因而不能判定(n+1)a(n+1)an+1n+1，nanan n的大小，错误的大小，错误. .p p3 3：数列：数列 是递增数列，显然，当是递增数列，显然，当a an n=n=n时，时， =1=1，数列，数列是常数列，不是递增数列，错误是常数列，不是递增数列，错误. .p p4 4：数列：数列aan n+3nd+3nd是递增数列，数列的第是递增数列，数列的第n+1n+1项减去数列的第项减去数列的第n n项项aan+1n+1+3(n+1)d-(a+3(n+1)d-(an n+3nd)+3nd)=(a=(an+1n+1-a-an n)+3(n+1)d-3nd)+3(
14、n+1)d-3nd=d+3d=4d0.=d+3d=4d0.所以所以a an+1n+1+3(n+1)da+3(n+1)dan n+3nd+3nd，即数列，即数列aan n+3nd+3nd是递增数列，正确是递增数列，正确. .【规律总结规律总结】等差数列函数特性应用的关注点等差数列函数特性应用的关注点(1)(1)把等差数列的通项公式看成一个特殊的一次函数，已知部把等差数列的通项公式看成一个特殊的一次函数，已知部分元素可求其他元素分元素可求其他元素. .(2)(2)利用研究函数的方法研究数列的单调性、最值等性质利用研究函数的方法研究数列的单调性、最值等性质. .【变式训练变式训练】已知：等差数列已知
15、：等差数列aan n 满足满足a an n+2a+2an+1n+1+a+an+2n+2=4=4，则该数，则该数列为列为( () )A.A.递增数列递增数列B.B.递减数列递减数列C.C.常数列常数列D.D.不能确定不能确定【解析解析】选选C.C.由由n+n+2=2(n+1)n+n+2=2(n+1)，得得a an n+a+an+2n+2=2a=2an+1n+1，即，即a an+1n+1=1=1，所以等差数列所以等差数列aan n 为常数列为常数列. .类型三类型三等差数列的实际应用等差数列的实际应用1.1.九章算术九章算术“竹九节竹九节”问题：现有一根问题：现有一根9 9节的竹子，自上节的竹子，
16、自上而下各节的容积成等差数列，上面而下各节的容积成等差数列，上面4 4节的容积共为节的容积共为3 3升，下面升，下面3 3节的容积共为节的容积共为4 4升，则第升，则第5 5节的容积为节的容积为升升. .2.2.甲、乙两人连续甲、乙两人连续6 6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供的两个不同的信息表如图所示：的两个不同的信息表如图所示：甲调查表明：从第甲调查表明：从第1 1年平均每个养鸡场生产年平均每个养鸡场生产1 1万只鸡上升到第万只鸡上升到第6 6年平均每个养鸡场生产年平均每个养鸡场生产2 2万只鸡万只鸡. .乙调查表明：由第乙调查表明：由第1 1年养鸡场个数年养鸡场个数3030个减少到第个减少到第6 6年年1010个个. .请你请你根据提供的信息：根据提供的信息：(1)(1)求第求第2 2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数. .(2)(2)到第到第6 6年这个县的养鸡业规模比第年这个县的养鸡业规模比第1 1年是扩大了还是缩小了年是扩大了还是缩小了？请说明理由？请说明理由. .【解题指南解题指南】1.1.设出自上
