1、第2课时基本不等式的应用【知识提炼知识提炼】基本不等式与最值基本不等式与最值已知已知x0 x0，y0y0，则，则(1)(1)若若x+y=s(x+y=s(和为定值和为定值) )，则当，则当_时，积时，积xyxy取得最取得最_值值_._.x=yx=y大大(2)(2)若若xy=p(xy=p(积为定值积为定值) )，则当，则当_时，和时，和x+yx+y取得最取得最_值值_._.记忆口诀：两正数的和定积记忆口诀：两正数的和定积_，两正数的积定和，两正数的积定和_._.x=yx=y小小最大最大最小最小【即时小测即时小测】1.1.思考下列问题思考下列问题(1)(1)利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件？利
2、用基本不等式求最值时应注意哪几个条件？提示：提示：三个条件是：一正，二定，三相等三个条件是：一正，二定，三相等. .(2)(2)凑配法求最值的基本技巧有哪些？凑配法求最值的基本技巧有哪些？提示：提示：配凑系数配凑系数. .配凑常数配凑常数. .配凑分子配凑分子. .配凑分母配凑分母. .2.2.已知已知x+2y=1x+2y=1，则，则2 2x x+4+4y y的最小值为的最小值为( () )A.8A.8B.6B.6C.2C.2D.3D.3【解析解析】选选C.C.因为因为2 2x x00，4 4y y00，所以，所以2 2x x+4+4y y 当且仅当且仅当当2 2x x=4=4y y，即，即x
3、=2y.x=2y.又又x+2y=1.x+2y=1.故故x= x= ，y= y= 时，等号成立时，等号成立. . 3.3.已知已知xy0 xy0，则代数式，则代数式 ( () )A.A.有最小值有最小值2 2B.B.有最大值有最大值-2-2C.C.有最小值有最小值-2-2D.D.不存在最值不存在最值【解析解析】选选B.B.因为因为x x2 2+y+y2 22|xy|=-2xy2|xy|=-2xy，又，又xy0 xy0，故故 -2.-2.4.4.已知已知0 x10 x1，则，则x(3-3x)x(3-3x)取最大值时取最大值时x x的值是的值是_._.【解析解析】因为因为0 x10 x0a0，b0b
4、0，且，且2a+b=42a+b=4，则，则 的最小值为的最小值为_._.【解析解析】因为因为a0a0，b0b0，且，且2a+b=42a+b=4，所以，所以4=2a+b4=2a+b2 2 ，即，即 当且仅当当且仅当2a=b2a=b，即即a=1a=1，b=2b=2时，取最小值时，取最小值. .答案：答案：【知识探究知识探究】知识点知识点 基本不等式的应用基本不等式的应用观察如图所示的内容，回答下列问题：观察如图所示的内容，回答下列问题：问题问题1 1：若求和：若求和( (积积) )的最值时，一般找哪个量为定值？的最值时，一般找哪个量为定值？问题问题2 2：利用基本不等式求最值时应注意哪些方面？：利
5、用基本不等式求最值时应注意哪些方面？【总结提升总结提升】1.1.利用基本不等式求最值时应注意的四个方面利用基本不等式求最值时应注意的四个方面(1)(1)代数式中，各项必须都是正数代数式中，各项必须都是正数. .例如，例如，x+ x+ ，当，当x0 x0 x+y=s(x0，y0y0，s s是是常数常数) )，则，则 由此得由此得 当且仅当当且仅当x=yx=y时取时取“= =”. .所以所以xyxy取得最大值取得最大值 . .(2)(2)同理，当同理，当xy=p(x0 xy=p(x0，y0y0，p p是常数是常数) )时，时， 当且仅当当且仅当x=yx=y时，时，x+yx+y取得最小值取得最小值
6、. .那么，当和为定值时，可以求得积的最大值，当积为那么，当和为定值时，可以求得积的最大值，当积为定值时，可以求得和的最小值定值时，可以求得和的最小值. .【题型探究题型探究】类型一类型一 利用基本不等式求最值问题利用基本不等式求最值问题【典例典例】1.(20151.(2015洛阳高二检测洛阳高二检测) )下列函数中，最小下列函数中，最小值为值为4 4的函数是的函数是( () )A.y=x+A.y=x+B.y=sinx+B.y=sinx+C.y=eC.y=ex x+4e+4e-x-xD.y=logD.y=log3 3x+logx+logx x81812.(20152.(2015邢台高二检测邢台
7、高二检测) )如果如果loglog3 3m+logm+log3 3n=4n=4，那么，那么m+nm+n的最小值是的最小值是( () )A.4A.4B.18B.18C.4C.4D.9D.93.3.设设0 x 0 x0m0，n0.n0.又因为又因为 mnmn，所以，所以m+n18.m+n18.当且仅当当且仅当m=n=9m=n=9时取等号时取等号. .3.3.因为因为0 x 0 x03-2x0，所以所以y=x(3-2x)= y=x(3-2x)= 2x(3-2x) 2x(3-2x) 当且仅当当且仅当x= x= 时等号成立，时等号成立，所以函数所以函数y=x(3-2x)y=x(3-2x)的最大值是的最大
8、值是 . .答案：答案：【方法技巧方法技巧】1.1.利用基本不等式求最值的策略利用基本不等式求最值的策略2.2.利用基本不等式求条件最值的常用方法利用基本不等式求条件最值的常用方法(1)(1)“1 1”的代换：利用已知的条件或将已知条件变形的代换：利用已知的条件或将已知条件变形得到含得到含“1 1”的式子，将的式子，将“1 1”代入后再利用基本不等代入后再利用基本不等式求最值式求最值. .(2)(2)构造法：构造法：构造不等式：利用构造不等式：利用ab ab 将式子转化为含将式子转化为含abab或或a+ba+b的一元二次不等式，将的一元二次不等式，将abab，(a+b)(a+b)作为整体解出范
9、作为整体解出范围；围；构造定值：结合已知条件对要求的代数式变形，构构造定值：结合已知条件对要求的代数式变形，构造出和或积的定值，再利用基本不等式求最值造出和或积的定值，再利用基本不等式求最值. .(3)(3)函数法：若利用基本不等式时等号取不到，则无法函数法：若利用基本不等式时等号取不到，则无法利用基本不等式求最值，则可将要求的式子看成一个利用基本不等式求最值，则可将要求的式子看成一个函数，利用函数的单调性求最值函数，利用函数的单调性求最值. .【变式训练变式训练】已知已知a3a3，求，求 的最小值的最小值. .【解题指南解题指南】利用利用a3a3的条件及结构式中一为分式，一的条件及结构式中一
10、为分式，一为整式的特点配凑为整式的特点配凑. .【解析解析】因为因为a3a3，所以，所以a-30a-30，当且仅当当且仅当a-3= a-3= ，即，即a=5a=5时等号成立时等号成立. .类型二类型二 利用基本不等式解决实际应用问题利用基本不等式解决实际应用问题【典例典例】1.1.蓝天超市一年购买某种货物蓝天超市一年购买某种货物400400吨，每次都吨，每次都购买购买x x吨，运费为吨，运费为4 4万元万元/ /次，一年的总存储费用为次，一年的总存储费用为4x4x万万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=_x=_吨吨. .2.(20152.
11、(2015承德高二检测承德高二检测) )如图所示，将一矩形花坛如图所示，将一矩形花坛ABCDABCD扩建成一个更大的矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛AMPNAMPN，要求，要求B B点在点在AMAM上，上，D D点在点在ANAN上，且对角线上，且对角线MNMN过过C C点，已知点，已知AB=3mAB=3m，AD=2m.AD=2m.(1)(1)要使矩形要使矩形AMPNAMPN的面积大于的面积大于32m32m2 2，则，则ANAN的长度应在什的长度应在什么范围内？么范围内？(2)(2)当当ANAN的长度是多少时，矩形的长度是多少时，矩形AMPNAMPN的面积最小？并求的面积最小？并求出最小值出最小
12、值. .【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中的总运费为多少元？中的总运费为多少元？提示：提示：由于每次购买由于每次购买x x吨，则购买的次数为吨，则购买的次数为 次，每次，每次运费为次运费为4 4万元，则总运费为万元，则总运费为 4 4万元万元. .2.2.典例典例2 2中矩形中矩形AMPNAMPN的面积如何表示出来？的面积如何表示出来？提示：提示：设设ANAN的长为的长为xm(x2)xm(x2)，则由，则由 得得 所以所以 【解析解析】1.1.超市一年购买某种货物超市一年购买某种货物400400吨，每次都购买吨，每次都购买x x吨，则需要购买吨，则需要购买 次，运费为次，运费为4 4
13、万元万元/ /次，一年的总次，一年的总存储费用为存储费用为4x4x万元，则一年的总运费与总存储费用之万元，则一年的总运费与总存储费用之和为（和为（ 4+4x4+4x）万元）万元. .因为因为 4+4x1604+4x160，当，当即即x=20 x=20时，一年的总运费与总存储费用之和最小时，一年的总运费与总存储费用之和最小答案：答案：20202.2.设设ANAN的长为的长为x m(x2)x m(x2)，则由，则由 得得所以所以 (1)(1)由由S S矩形矩形AMPNAMPN3232，得，得 32.32.又又x2x2，解得，解得2x 2x8.x8.所以所以ANAN的长度的取值范围为的长度的取值范围
14、为(2(2， )(8)(8，+)+)(2)(2)因为因为当且仅当当且仅当3(x-2)= 3(x-2)= ，即，即x=4x=4时，等号成立所以当时，等号成立所以当ANAN的长度是的长度是4 m4 m时，矩形时，矩形AMPNAMPN的面积最小，最小值为的面积最小，最小值为24 m24 m2 2. .【方法技巧方法技巧】利用基本不等式解决实际问题的步骤利用基本不等式解决实际问题的步骤解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识为数学问题，再利用数学知识( (函数及不等式性质等函数及不等式性质等) )解决问题解决问题. .用基本
15、不等式解决此类问题时，应按如下步用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：骤进行：(1)(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数或最小值的变量定为函数. .(2)(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题最大值或最小值问题. .(3)(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值在定义域内，求出函数的最大值或最小值. .(4)(4)正确写出答案正确写出答案. .【变式训练变式训练】(2014(2014湖北高考湖北高考) )某项研究表明：在考某项研究表
16、明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量虑行车安全的情况下，某路段车流量F(F(单位时间内经单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆过测量点的车辆数，单位：辆/ /小时小时) )与车流速度与车流速度v(v(假假设车辆以相同速度设车辆以相同速度v v行驶，单位：米行驶，单位：米/ /秒秒) )、平均车长、平均车长l( (单位：米单位：米) )的值有关，其公式为的值有关，其公式为F= F= (1)(1)当当l=6.05=6.05时，则最大车流量为时，则最大车流量为_辆辆/ /小时小时. .(2)(2)当当l=5=5时，则最大车流量比时，则最大车流量比(1)(1)中的最大车流量增加中的最大车流量增加_辆辆/ /小时小时. .【解析解析】(1)(1)当当l=6.05=6.05时，则时，则1 9001 900，当且仅当，当且仅当v= v= ，即，即v=11(v=11(米米/ /秒秒) )时取等号时取等号. .(2)(2)当当l=5=5时，则时，则当且仅当当且仅当v= v= ，即，即v=10(v=10(米米/ /秒秒) )时取等号，此时最大时取等号，此时最大车流量比车流量比(1)(1)中的最大车流量
