1、第一课解三角形【网络体系网络体系】【核心速填核心速填】1.1.正弦定理正弦定理(1)(1)公式表达：公式表达：_._.(2)(2)公式变形：公式变形：a=2RsinAa=2RsinA，b=2RsinBb=2RsinB，c =2RsinCc =2RsinC；sinA= sinA= ，sinB= sinB= ，sinC= sinC= ；abc=sinAsinBsinCabc=sinAsinBsinC；2.2.余弦定理余弦定理(1)(1)公式表达：公式表达：a a2 2=_=_，b b2 2=_=_，c c2 2=_.=_.(2)(2)推论：推论：cosA=_cosA=_，cosB=_cosB=_，
2、cosC=_.cosC=_.b b2 2+c+c2 2-2bccosA-2bccosAa a2 2+c+c2 2-2accosB-2accosBa a2 2+b+b2 2-2abcosC-2abcosC3.3.三角形中的常用结论三角形中的常用结论(1)a+bc(1)a+bc，b+cab+ca，c+ab.c+ab.(2)a-bc(2)a-bc，b-cab-ca，a-cb.a-cb(4)abABABsinAsinB.sinAsinB.(5)a=b(5)a=bA=B.A=B.(6)A(6)A为锐角为锐角cosA0cosA0a a2 2bb2 2+c+c2 2；A A为钝角为钝角cosA0cosAbb
3、2 2+c+c2 2；A A为直角为直角cosA=0cosA=0a a2 2=b=b2 2+c+c2 2. .(7)sin(A+B)=sinC(7)sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=-cosC.cos(A+B)=-cosC.(8)(8)4.4.三角形中的计算问题三角形中的计算问题在在ABCABC中，边中，边BCBC，CACA，ABAB记为记为a a，b b，c c，边，边BCBC，CACA，ABAB上的高分别记为上的高分别记为h ha a，h hb b，h hc c，则，则(1)h(1)ha a=bsinC=_.=bsinC=_.(2)h(2)hb b=csinA=_.=csinA
4、=_.(3)h(3)hc c=asinB=_.=asinB=_.csinBcsinBasinCasinCbsinAbsinA(4)(4)(5)(5)【易错提醒易错提醒】解三角形中易忽视的三点解三角形中易忽视的三点(1)(1)解三角形时，不要忽视角的取值范围解三角形时，不要忽视角的取值范围. .(2)(2)由两个角的正弦值相等求两角关系时，注意不要忽由两个角的正弦值相等求两角关系时，注意不要忽视两角互补情况视两角互补情况. .(3)(3)利用正弦定理、余弦定理判断三角形形状时，切记利用正弦定理、余弦定理判断三角形形状时，切记出现失解情况出现失解情况. .类型一类型一 利用正、余弦定理解三角形利用
5、正、余弦定理解三角形【典例典例1 1】(1)ABC(1)ABC的外接圆的圆心为的外接圆的圆心为O O，AB=2AB=2，AC=AC= ，BC= BC= ，则，则 等于等于( () )(2)(2)在在ABCABC中，中，A A，B B为锐角，角为锐角，角A A，B B，C C所对应的边分所对应的边分别为别为a a，b b，c c，且，且cos 2A= cos 2A= ，sinB=sinB=求求A+BA+B的值；的值；若若a-b= -1a-b= -1，求，求a a，b b，c c的值的值. .【解析解析】(1)(1)选选C.C.因为因为AB=2AB=2，所以所以BCBC2 2=AB=AB2 2+A
6、C+AC2 2，所以所以A= A= ，所以，所以BCBC为圆的直径，为圆的直径，O O为斜边为斜边BCBC的中点，的中点，所以所以CO=BO=AO= BC= CO=BO=AO= BC= ，又，又AC= AC= ，设设AOC=AOC=，由余弦定理得，由余弦定理得cos=cos=则则(2)(2)因为因为A A，B B为锐角，为锐角，sinB=sinB=所以所以cosB=cosB=又因为又因为cos 2A=1-2sincos 2A=1-2sin2 2A=A=所以所以sinA= sinA= ，cosA=cosA=所以所以cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A+B)=cosAco
7、sB-sinAsinB因为因为0A+B0A+B，所以，所以A+B=A+B=由由知知C= C= ，所以，所以sinC=sinC=由正弦定理由正弦定理 得得即即a= ba= b，c= b.c= b.因为因为a-b= -1a-b= -1，所以，所以 b-b=b-b= -1 -1，所以，所以b=1b=1，所以，所以a= a= ，c= .c= .【方法技巧方法技巧】应用正、余弦定理解决解三角形问题的应用正、余弦定理解决解三角形问题的类型及方法类型及方法已知条件已知条件应用定理应用定理一般解法一般解法一边和两角一边和两角( (如如a a，B B，C)C)正弦定理正弦定理由由A+B+C=180A+B+C=1
8、80，求角，求角A A；由正；由正弦定理求出弦定理求出b b与与c c；S SABCABC= = acsinB acsinB；在有解时只有一解；在有解时只有一解已知条件已知条件应用定理应用定理一般解法一般解法两边和夹角两边和夹角( (如如a a，b b，C)C)余弦定理余弦定理正弦定理正弦定理由余弦定理求第三边由余弦定理求第三边c c；由正；由正弦定理求出小边所对的角；再弦定理求出小边所对的角；再由由A+B+C=180A+B+C=180求出另一角；求出另一角；S SABCABC= absinC= absinC；在有解时只；在有解时只有一解有一解三边三边(a(a，b b，c)c)余弦定理余弦定理
9、由余弦定理求出角由余弦定理求出角A A，B B；再利；再利用用A+B+C=180A+B+C=180，求出角，求出角C C；S SABCABC= absinC= absinC；在有解时只；在有解时只有一解有一解已知条件已知条件应用定理应用定理一般解法一般解法两边和其中两边和其中一边的对角一边的对角( (如如a a，b b，A)A)正弦定理正弦定理由正弦定理求出角由正弦定理求出角B B；由；由A+B+C=180A+B+C=180，求出角，求出角C C；再利；再利用正弦定理求出第三边用正弦定理求出第三边c c；S SABCABC= absinC= absinC；可有一解、；可有一解、两解或无解两解或
10、无解【变式训练变式训练】在在ABCABC中，角中，角A A，B B，C C所对应的边分别所对应的边分别为为a a，b b，c c，a=2 a=2 ， =4=4，2sinBcosC 2sinBcosC =sinA=sinA，求，求A A，B B及及b b，c.c.【解析解析】因为因为 =4=4，所以所以 =4.=4.所以所以所以所以sinC= .sinC= .又因为又因为C(0C(0，)，所以，所以C= C= 或或C=C=由由2sinBcosC=sinA2sinBcosC=sinA，得，得2sinBcosC=sin(B+C)2sinBcosC=sin(B+C)，即即sin(B-C)=0.sin(
11、B-C)=0.所以所以B=CB=C，所以，所以B=C= B=C= ，A=-(B+C)=A=-(B+C)=由正弦定理由正弦定理 ，得，得【补偿训练补偿训练】在在ABCABC中，中，a a，b b，c c分别是角分别是角A A，B B，C C的的对边，对边，B=45B=45，b= b= ，cosC=cosC=(1)(1)求边长求边长a.a.(2)(2)设设ABAB的中点为的中点为D D，求中线，求中线CDCD的长的长. .【解析解析】(1)(1)由由cosC= cosC= 得得sinC=sinC=sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinCsinA=sin(B+C)=sinBco
12、sC+cosBsinC由正弦定理得由正弦定理得(2)(2)由余弦定理得由余弦定理得c c2 2=a=a2 2+b+b2 2-2abcosC=(3 )-2abcosC=(3 )2 2+( )+( )2 2- -2 23 3 =4 =4，所以，所以c=2c=2，在，在BCDBCD中中. .由余弦由余弦定理得定理得CDCD2 2=BD=BD2 2+BC+BC2 2-2-2BDBDBCBCcosB=1cosB=12 2+(3 )+(3 )2 2- -2 21 13 3 =13 =13，所以，所以CD=CD=类型二类型二 判断三角形的形状判断三角形的形状【典例典例2 2】(1)(1)在在ABCABC中，
13、已知中，已知3b=2 asinB3b=2 asinB，且，且cosB=cosCcosB=cosC，角，角A A是锐角，则是锐角，则ABCABC的形状是的形状是( () )A.A.直角三角形直角三角形 B.B.等腰三角形等腰三角形C.C.等腰直角三角形等腰直角三角形 D.D.等边三角形等边三角形(2)(2)已知在已知在ABCABC中，中， =c=c2 2，且，且acosB=bcosAacosB=bcosA，试判断试判断ABCABC的形状的形状. .【解析解析】(1)(1)选选D.D.由由3b=2 asinB3b=2 asinB，得，得根据正弦定理，得根据正弦定理，得所以所以 ，即，即sinA=s
14、inA=又角又角A A是锐角，所以是锐角，所以A=60A=60. .又又cosB=cosCcosB=cosC，且，且B B，C C都为三角形的内角，都为三角形的内角，所以所以B=CB=C，故，故ABCABC为等边三角形为等边三角形. .(2)(2)由由 =c=c2 2，得，得a a3 3+b+b3 3-c-c3 3=c=c2 2(a+b)-c(a+b)-c3 3，所以所以a a2 2+b+b2 2-ab=c-ab=c2 2，所以，所以cosC= cosC= ，所以，所以C=60C=60. .由由acosB=bcosAacosB=bcosA，得，得2RsinAcosB=2RsinBcosA(R2
15、RsinAcosB=2RsinBcosA(R为为ABCABC外接圆的半径外接圆的半径) )，所以，所以sin(A-B)=0sin(A-B)=0，所以，所以A-B=0A-B=0，所以所以A=B=C=60A=B=C=60，所以，所以ABCABC为等边三角形为等边三角形. .【方法技巧方法技巧】判定三角形形状的两种途径判定三角形形状的两种途径(1)(1)通过正弦定理和余弦定理化边为角，如通过正弦定理和余弦定理化边为角，如a=2RsinAa=2RsinA，a a2 2+b+b2 2-c-c2 2=2abcosC=2abcosC等，再利用三角变换得出三角形内角等，再利用三角变换得出三角形内角之间的关系进
16、行判断，此时注意一些常见的三角等式之间的关系进行判断，此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如所体现的内角关系，如sinA=sinBsinA=sinBA=BA=B，sin(A-sin(A-B)=0B)=0A=BA=B，sin2A=sin2Bsin2A=sin2BA=BA=B或或A+B= A+B= 等等. .(2)(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sinA=sinA=cosA= cosA= 等，通过代数恒等变换，求出三条边之等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断间的关系进行判断. .【变式训练变式训练】在在ABCABC中，若中，若B=60B=60，2b=a+c2b=a+c，试判断，试判断ABCABC的形状的形状. .【解析解析】方法一：由正弦定理可得方法一：由正弦定理可得2sinB=sinA+sinC2sinB=sinA+sinC，因为因为B=60B=60，所以，所以A+C=120A+C=120，A=120A=120-C-C，将其代入上式，得将其代入上式，得2sin602sin60=sin(120=sin(120-C)+sinC-
