1、1.4.3含有一个量词的命题的否定第一章 1.4 全称量词与存在量词1.通过探究数学中一些实例，归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.2.通过例题和习题的学习，能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定.学习目标栏目索引知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习知识点一全称命题的否定全称命题p：xM，p(x)，它的否定綈p：.知识点二特称命题的否定特称命题p：x0M，p(x0)，它的否定綈p：.知识点三全称命题与特称命题的关系全称命题的否定是 命题.特称命题的否定是 命题.答案x0M，綈p(
2、x0)xM，綈p(x)特称全称思考(1)用自然语言描述的全称命题的否定形式惟一吗？答案不惟一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”.(2)对省略量词的命题怎样否定？答案对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称命题或特称命题.一般地，省略了量词的命题是全称命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是特称命题.反之，亦然.答案返回 题型探究 重点突破解析答案题型一全称命题的否定例1写出下列全称命题的否定：(1)任何一个平行四边形的对边都平行；解其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行.(2)数列：1,2,3,4,5
3、中的每一项都是偶数；解其否定为：数列：1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数.(3)a，bR，方程axb都有惟一解；解其否定为：a，bR，使方程axb的解不惟一或不存在.(4)可以被5整除的整数，末位是0.解其否定为：存在被5整除的整数，末位不是0.反思与感悟解析答案跟踪训练1写出下列全称命题的否定：(1)p：每一个四边形的四个顶点共圆；解綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆.(2)p：所有自然数的平方都是正数；解綈p：有些自然数的平方不是正数.(3)p：任何实数x都是方程5x120的根；解綈p：存在实数x0不是方程5x0120的根.(4)p：对任意实数x，x210.解析答案题型二特称命题
4、的否定例2写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假.解綈p：x1，x22x30.(假).(2)p：有些素数是奇数；解綈p：所有的素数都不是奇数.(假).(3)p：有些平行四边形不是矩形.解綈p：所有的平行四边形都是矩形.(假).反思与感悟解析答案跟踪训练2写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假.(1)有些实数的绝对值是正数；解命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”.它为假命题.(2)某些平行四边形是菱形；解命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题.解析答案题型三特称
5、命题、全称命题的综合应用例3已知函数f(x)x22x5.(1)是否存在实数m，使不等式mf(x)0对于任意xR恒成立，并说明理由；解不等式mf(x)0可化为mf(x)，即mx22x5(x1)24.要使m(x1)24对于任意xR恒成立，只需m4即可.故存在实数m，使不等式mf(x)0对于任意xR恒成立，此时，只需m4.解析答案反思与感悟(2)若存在一个实数x0，使不等式mf(x0)0成立，求实数m的取值范围.解不等式mf(x0)0可化为mf(x0)，若存在一个实数x0，使不等式mf(x0)成立，只需mf(x)min.又f(x)(x1)24，f(x)min4，m4.所求实数m的取值范围是(4，).
6、解析答案跟踪训练3已知f(x)3ax26x1(aR).(1)当a3时，求证：对任意xR，都有f(x)0；证明当a3时，f(x)9x26x1，364(9)(1)0，对任意xR，都有f(x)0.解析答案(2)如果对任意xR，不等式f(x)4x恒成立，求实数a的取值范围.解f(x)4x恒成立，3ax22x10恒成立，解析答案易错点含有一个量词的命题的否定返回解后反思例4写出下列命题的否定，并判断其真假.(1)正方形都是菱形；分析(1)是省略了全称量词的全称命题，其否定是特称命题.(2)是特称命题，其否定是全称命题.解(1)有的正方形不是菱形.假命题.(2)xR，x24x30恒成立.假命题.解后反思含
7、有一个量词的命题在否定时，往往只改变前面的量词，而将后面的否定忽略，这种错误应当避免. 当堂检测12345解析答案1.命题p：“存在实数m，使方程x2mx10有实数根”，则“綈p”形式的命题是()A.存在实数m，使方程x2mx10无实数根B.不存在实数m，使方程x2mx10无实数根C.对任意的实数m，方程x2mx10无实数根D.至多有一个实数m，使方程x2mx10有实数根解析命题p是特称命题，其否定形式为全称命题，即綈p：对任意的实数m，方程x2mx10无实数根.C解析答案123452.设xZ，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p：xA,2xB，则()A.綈p：xA,2xBB.綈p：xA,
8、2xBC.綈p：xA,2xBD.綈p：xA,2xB解析命题p：xA,2xB是一个全称命题，其命题的否定綈p应为xA,2xB，选D.D12345解析答案3.对下列命题的否定说法错误的是()A.p：能被2整除的数是偶数；綈p：存在一个能被2整除的数不是偶数B.p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形C.p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形D.p：nN,2n100；綈p：nN,2n100.解析“有的三角形为正三角形”为特称命题，其否定为全称命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误.C解析答案12345解析全称命题的否定是特称命题.C解析答案123455.命题
9、“零向量与任意向量共线”的否定为_.解析命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为特称命题“有的向量与零向量不共线”.有的向量与零向量不共线课堂小结返回1.对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题.(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词.(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等分别改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定.2.通常对于“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免繁杂的运算.
