1、二次函数的图像和性质二次函数的图像和性质执教教师：执教教师：XXXXXX 一次函数的图象是一条一次函数的图象是一条直线直线，反比例函数的图象是，反比例函数的图象是双曲线双曲线，二次函数的图象是什么形状呢？它又有什么性，二次函数的图象是什么形状呢？它又有什么性质呢？质呢？思考思考 一般地一般地,形如形如 y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a、b b、c c为常数为常数,a0),a0)的函数的函数,叫做二次函数叫做二次函数.（当（当b=c=0时，时，yax2 的图象。的图象。）二次函数二次函数: :1 1、学会作图：通过描点法画出、学会作图：通过描点法画出y=axy=ax2 2的图象
2、；的图象；2 2、发现性质：观察、发现性质：观察y=axy=ax2 2的图象发现性质；的图象发现性质； 应用性质：应用性质：y=axy=ax2 2性质的简单应用。性质的简单应用。用描点法画二次函数用描点法画二次函数y=xy=x2的图象：的图象：（画函数图象的步骤是怎样的？）（画函数图象的步骤是怎样的？）x x -3-3 -2-2-1-10 01 12 2 3 3y y= =x x29 94 41 11 10 04 49 9 观察观察y=xy=x2的表达式的表达式, ,选择适当选择适当x x值值, ,并计算并计算 相应的相应的y y值，完成下表：值，完成下表：x xy y0-4-3-2-1123
3、4108642-2y=x2 2二次函数二次函数y=xy=x2的图象的图象形如物体抛射时所经过形如物体抛射时所经过的路线的路线, ,我们把它叫做我们把它叫做抛物线抛物线. .这条抛物线关这条抛物线关于于y轴对称轴对称, ,y y轴就是它的对轴就是它的对称轴称轴. .开口向开口向上上. . 对称轴与抛物线的交点对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点叫做抛物线的顶点, ,顶点是抛物线的最低点顶点是抛物线的最低点或最高点或最高点. .y y0(1)(1)二次函数二次函数 y y = - x x2 的图象是什么形状？的图象是什么形状？你能根据表格中的数据作出你能根据表格中的数据作出猜想吗？猜想吗？(2)(
4、2)先想一想，然后作出它的图象先想一想，然后作出它的图象(3)(3)它与二次函数它与二次函数y y=x x2的图象有什么关系？的图象有什么关系？x x-3-3-2-2-1-10 01 12 23 3y y=-=-x x2 2在在“做做”中中“学学” -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 -9 x xy y0-4-3-21234-4-2-1y y=-=-x x2 2-1-31描点描点, ,连线连线 二次函数二次函数y y= -x x2 的图象是的图象是抛物线抛物线. . 二次函数二次函数y y= -x x2 的图象与的图象与y y= x x2 的图象的图象关于
5、关于x轴对称轴对称，顶，顶点都为原点，但原点是二次函数点都为原点，但原点是二次函数y y= -x x2的最高点，却是的最高点，却是 y y= x x2 的最低点的最低点. .xyoy=-xy=-x2 2xyoy=xy=x2 2请同学们在同一直角坐标系中，画出请同学们在同一直角坐标系中，画出y y= =x x2，y=2xy=2x2 2的图的图象象. .在另一坐标系内画出在另一坐标系内画出y y= - x x2,y y = -2x x2的图象，并考的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点虑这些抛物线有什么共同点和不同点. .主要从以下主要从以下5 5个方面考虑：个方面考虑：1.1.顶点坐标顶点
6、坐标2.2.开口方向与开口大小开口方向与开口大小3.3.对称轴对称轴4.4.最值最值5.5.增减性增减性x x.0 0-4-4 -3-3-2-2 -1-12 23 31 14 40 00.50.52 24.54.58 8 0.5 0.52 24.54.58 8在同一直角坐标系中，画出在同一直角坐标系中，画出y y= = ，y=2xy=2x2 2的图象的图象. .y yo o221x函数函数 y y=x=x2 2，y y= =2 2x x2 的图象的图象与与y y=x x2的图象相比，有什的图象相比，有什么共同点和不同点？么共同点和不同点？ y=2x2y=xy=x2(1)(1)图象是轴对称图形吗
7、？图象是轴对称图形吗？ 如果是如果是, ,它的它的对称轴对称轴是什么是什么? ?x xo o图象是轴对称图形，对称轴都是图象是轴对称图形，对称轴都是y y轴轴. .图象开口向上，图象开口向上， a a越大开口越小越大开口越小. .图象的顶点都是原点，为抛物线的最低点图象的顶点都是原点，为抛物线的最低点. .(2)(2)图象的图象的开口方向开口方向是向上还是向下？图象的是向上还是向下？图象的开口开口 大小大小有什么规律？有什么规律？(3)(3)图象的图象的顶点顶点是什么？顶点是抛物线的最高点还是什么？顶点是抛物线的最高点还 是最低点是最低点( (最值）最值）？-3 -2 -1 1 2 3-3 -
8、2 -1 1 2 31 12 2x x2 2= =y y当当aa0 0时，抛物线时，抛物线y=axy=ax2的对称轴是的对称轴是y y轴，顶点是原点，开轴，顶点是原点，开口向上，顶点是抛物线的最低点，口向上，顶点是抛物线的最低点，a a越大，抛物线的开口越大，抛物线的开口越小越小. .xyo1 2 3 4 5x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10 x x-4-4-3-3-2 -2 -1 -10 01 1 2 23 34 4解解:(1):(1)列表列表 (2) (2)描点描点(3)(3)连线连线x x-2-2-1.5-1.5-1 -1 -0.5-0.50 00.5
9、0.51 11.51.52 2y=y=2x2x2 2-8-8-2-2 -0.5-0.5 0 0 -0.5-0.5 -2-2-4.5-4.5-8-8-4.5-4.5-8-8-2-2 -0.5-0.50 0 -0.5-0.5 -2-2-4.5-4.5-8-8-4.5-4.5 函数函数y=- y=- 1/21/2x x2 2,y=-2x,y=-2x2 2的图像的图像与函数与函数y=y=x x2 2( (图中虚线图形图中虚线图形) )的图像相比的图像相比, ,有什么共同点和不有什么共同点和不同点同点? ? y=-x2当当a a0 0时，抛物线时，抛物线y=axy=ax2的对称轴是的对称轴是y y轴，顶
10、点是原点，开轴，顶点是原点，开口向下，顶点是抛物线的最高点，口向下，顶点是抛物线的最高点，a a越大，抛物线的开口越大，抛物线的开口越小越小. .xyo(1)(1)抛物线抛物线y=axy=ax2与与y y= - axax2(a0)关于关于_轴对称轴对称；(2)(2)当当a a0 0时时，开口开口_，顶点是抛物线的最，顶点是抛物线的最_点；点；当当a a0 0时，开口时，开口_，顶点是抛物线的最，顶点是抛物线的最_点点；(3)(3)a a越大，抛物线的开口越大，抛物线的开口_. .【点拨点拨】a a决定了抛物线决定了抛物线y y=axax2的开口大小和方向的开口大小和方向. .x向上向上低低向下
11、向下高高越小越小xyoa0 a0 a0 a0 a0 a0 xyo请同学们把所学的二次函数图象的知识归纳小结。请同学们把所学的二次函数图象的知识归纳小结。y=ax2顶点顶点 对称轴对称轴 开口开口图象图象左侧左侧 右侧右侧x y x ya0a0增增大大(0,0)(0,0)最低点最低点(0,0)(0,0)最高点最高点y y轴轴y y轴轴向上向上向下向下增增大大减减小小增增大大增增大大增增大大减减小小增增大大1 1、函数、函数y=2xy=2x2 2的图象的开口的图象的开口 , ,对称轴对称轴 , ,顶顶点是点是 ; ; 2 2、函数、函数y=y=3x3x2 2的图象的开口的图象的开口 , ,对称轴对
12、称轴 , ,顶点是顶点是 ; ;向上向上向下向下y轴轴y轴轴(0,0)(0,0)3 3填空：已知二次函数填空：已知二次函数 (1)(1)其中开口向上的有其中开口向上的有_(_(填题号填题号) )；(2)(2)其中开口向下且开口最大的是其中开口向下且开口最大的是_(_(填题号填题号) )；(3)(3)当自变量由小到大变化时，函数值先逐渐变大，然后当自变量由小到大变化时，函数值先逐渐变大，然后 逐渐变小的有逐渐变小的有_(_(填题号填题号) )1.1.二次函数二次函数y=axy=ax2的图象是什么？的图象是什么？2.2.二次函数二次函数y=axy=ax2的图象有什么性质？的图象有什么性质？3.3.抛物线抛物线y=axy=ax2 与与y=-axy=-ax2 2有怎样的关系？有怎样的关系？通过本课时的学习，需要我们掌握：通过本课时的学习，需要我们掌握：能力提升能力提升： 已知抛物线已知抛物线y=ax2经过点经过点A（-2，-8） （1）求此抛物线的函数解析式；）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物）是否在此抛物线上。线上。谢谢观看谢谢观看请指导请指导
