1、一、数列前一、数列前n项和的意义项和的意义:设数列设数列an： a1， a2 ， a3 ， an ， 我们把我们把a1a2 a3 an叫做数列叫做数列an的的前前n项和项和，记作，记作Sn实例探究实例探究: 高斯高斯(1777(177718551855） 德国著名数学家德国著名数学家。1+2+3+98+99+100=？高斯高斯10岁时曾很快算出这一结果，如何算的呢？岁时曾很快算出这一结果，如何算的呢？思考：思考：1+2+3+n=？ 1 + 2 + + ( n-1) + n n + ( n-1) + + 2 + 1 (n+1) + (n+1) + + (n+1) + (n+1)推广：其它等差数列
2、是不是也可以用这个思路来推广：其它等差数列是不是也可以用这个思路来 求前求前n项和呢？项和呢？ 一般地，我们称一般地，我们称a1+a2+an为数列为数列an的前的前n项和，项和，常用常用Sn表示，即表示，即Sn=a1+a2+an对公差为对公差为d的等差数列的等差数列an ，有，有 Sn=a1+a2+an Sn=an+an-1+a1所以所以2Sn=(a1+a2+an)+(an+an-1+a1) =(a1+an)+(a2+an-1)+(an+a1) =(a1+an)+(a1+an)+(a1+an) =n(a1+an)n个个等差数列前等差数列前n项和公式的推导：项和公式的推导：等差数列的前等差数列的
3、前n项和公式：项和公式：若把若把an=a1+(n-1)d代入上式，则可得代入上式，则可得例例1、等差数列、等差数列-10，-6，-2，的前多少项的和为的前多少项的和为54？解：解： 设设该数列的前该数列的前n项的和为项的和为54，则有，则有整理得整理得 n2-6n-27=0 解得解得 n=9或或n=-3（舍去）（舍去） 这个这个数列的前数列的前9项的和为项的和为54练习：已知在等差数列练习：已知在等差数列an中中（1）an=4n-1，求，求S50； （2）a1=12， a8=26 ，求，求S20；（3）a6+a9=8，求，求S14；620505056思考：若知道思考：若知道a7=10，你能求出
4、前几项的和？，你能求出前几项的和？等差数列的前等差数列的前n项和公式：项和公式：注意注意a1+an的变形的变形方程的思想方程的思想例例2、已知一个等差数列、已知一个等差数列an的前的前10项的和是项的和是310，前，前20项项的和是的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的通项公式，由这些条件能确定这个等差数列的通项公式及前及前 n 项和的公式吗？项和的公式吗？解：依题意知，解：依题意知，S10=310，S20=122010a1+45d=31020a1+190d=1220得得解得解得 a1=4，d=6将它们代入公式将它们代入公式思考：对于等差数思考：对于等差数列的相关列的相关a1,an,d
5、,n,Sn,已知几已知几个量就可个量就可以确定其他量？以确定其他量？例例2、已知一个等差数列、已知一个等差数列an的前的前10项的和是项的和是310，前，前20项项的和是的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的通项公式，由这些条件能确定这个等差数列的通项公式及前及前 n 项和的公式吗？项和的公式吗？思考：对于等差数思考：对于等差数列的相关列的相关a1,an,d,n,Sn,已知几已知几个量就可个量就可以确定其他量？以确定其他量？a1,d,n是是等差数列的三个等差数列的三个基本量，基本量，an,Sn可以用这可以用这三个量表示，三个量表示，a1,an,d,n,Sn,可可知三求二知三求二。一般是
6、通过通项公式和一般是通过通项公式和前前n项和公式联立方程项和公式联立方程(组组)求解。求解。练习：已知在等差数列练习：已知在等差数列an中中例例3、2000年年11月月14日教育部下发了日教育部下发了关于在中小学关于在中小学实施校校通工程的通知实施校校通工程的通知。某市据此提出了实施。某市据此提出了实施“校校校通校通”工程的总体目标：从工程的总体目标：从2001年起用年起用10年的时间，年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于年该市用于“校校通校校通”的工程经费为的工程经费为500万元。为了万元。为了保证工程的顺利实施，计
7、划每年投入的资金都比上一保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加年增加50万元。那么从万元。那么从2001年起的未来年起的未来10年间，该市年间，该市“校校通校校通”工程中的总投入是多少？工程中的总投入是多少？ 解解：根根据据题题意意，从从2001 2010年年，该该市市每每年年投投入入“校校校校通通”工工程程的的经经费费都都比比上上一一年年增增加加50万万元元。所所以以，可可以以建建立立一一个个等等差差数数列列an，表表示示从从2001年年起起各各年年投投入入的资金，其中，的资金，其中， 那么，到那么，到2010年（年（n=10）,投入的资金总额为投入的资金总额为答：从答：从20
8、012010”年年,该市在该市在“校校通校校通”工程中的总投工程中的总投入是入是7250元元.分析：分析：Sn=a1+a2+an， Sn-1=a1+a2+an-1(n2) an=Sn-Sn-1 (n2)特别地，当特别地，当n=1时，时，a1=S1例例3、已知数列、已知数列an的前的前n项和为项和为 ，求该数列，求该数列的通项公式，这个数列是等差数列吗？的通项公式，这个数列是等差数列吗？例例3、已知数列、已知数列an的前的前n项和为项和为 ，求该数列，求该数列的通项公式，这个数列是等差数列吗？的通项公式，这个数列是等差数列吗？解：当解：当n=1时，时，当当n2时，时，数列数列an的通项公式为的通
9、项公式为这是首项为这是首项为 ，公差为，公差为2的等差数列的等差数列等差数列的前等差数列的前n项和公式：项和公式： 若已知数列若已知数列an前前n项和为项和为Sn，则该数列的，则该数列的通项公式为通项公式为S1， n=1Sn-Sn-1，n2an=探究：探究： 一般地，如果一个数列一般地，如果一个数列an的前的前n项和为项和为Sn=pn2+qn+r，其中，其中p、q、r为常数，且为常数，且p0，那么，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，则它的首项与这个数列一定是等差数列吗？若是，则它的首项与公差分别是什么？公差分别是什么？分析：当分析：当n=1时，时，a1=S1=p+q+r又又当当n=1时，时，an=2p-p+q=p+q 当且仅当当且仅当r =0时，时，a1满足满足an=2pn-p+q故只有当故只有当r =0时该数列才是等差数列，时该数列才是等差数列，此时首项此时首项a1=p+q，公差，公差d=2p(p0) 当当n1时，时， an =Sn-Sn-1 =pn2+qn+r-p(n-1)2-q(n-1)-r =2pn-p+q
