1、 在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中， 研究人员获得了一组样本数据：研究人员获得了一组样本数据：年龄年龄 23273941454950脂肪脂肪 9.517.8 21.225.927.526.328.2年龄年龄 53545657586061脂肪脂肪 29.630.231.430.833.535.234.6根据上述数据，人体的脂肪含量与年龄之间根据上述数据，人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系？有怎样的关系？散点图：散点图： 两个变量的两个变量的散点图散点图中点的分布的位置是从左中点的分布的位置是从左下角到右上角的区域，即一个变量值由小变大，下角到右上角
2、的区域，即一个变量值由小变大，另一个变量值也由小变大，我们称这种相关关系另一个变量值也由小变大，我们称这种相关关系为为正相关正相关。思考：思考：1、两个变量成负相关关系时，散点图、两个变量成负相关关系时，散点图有什么特点？有什么特点？ 两个变量的散点图中点的分布的位置是两个变量的散点图中点的分布的位置是从左上角到右下角的区域，即一个变量值由小从左上角到右下角的区域，即一个变量值由小变大，而另一个变量值由大变小，我们称这种变大，而另一个变量值由大变小，我们称这种相关关系为负相关。相关关系为负相关。2、你能举出一些生活中的变量成正相关或者、你能举出一些生活中的变量成正相关或者负相关的例子吗负相关的
3、例子吗？3、若两个变量散点图呈下图，它们之间是否若两个变量散点图呈下图，它们之间是否具有相关关系？具有相关关系？散散点点图图回归直线：如果散点图中点的分布回归直线：如果散点图中点的分布从从整体整体上看上看大致在大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相线性相关关系关关系，这条直线就叫做，这条直线就叫做回归直线。回归直线。 这条回归直线的方程，简称为回归方程。这条回归直线的方程，简称为回归方程。方案一：采用测量的方法：先画一条直线，测方案一：采用测量的方法：先画一条直线，测量出各点到它的距离，然后移动直线，到达一量出各点到它的距离，然后移动直线，
4、到达一个使距离之和最小的位置，测量出此时直线的个使距离之和最小的位置，测量出此时直线的斜率和截距，就得到回归方程。斜率和截距，就得到回归方程。如何具体的求出回归方程？如何具体的求出回归方程？方案二、在图中选取两点画直线，使得直线两方案二、在图中选取两点画直线，使得直线两侧的点的个数基本相同。侧的点的个数基本相同。我们应该如何具体的求出这个回归方程呢？我们应该如何具体的求出这个回归方程呢？方案三、在散点图中多取几组点，确定几条直方案三、在散点图中多取几组点，确定几条直线的方程，分别求出各条直线的斜率和截距的线的方程，分别求出各条直线的斜率和截距的平均数，将这两个平均数作为回归方程的斜率平均数，将
5、这两个平均数作为回归方程的斜率和截距。和截距。我们应该如何具体的求出这个回归方程呢？我们应该如何具体的求出这个回归方程呢？上述三种方案均有一定的道理，但可靠性不强，上述三种方案均有一定的道理，但可靠性不强，我们回到回归直线的我们回到回归直线的定义定义。求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看，各点与直线的偏差最小从整体上看，各点与直线的偏差最小”。计算回归方程的斜率和截距的一般公式：计算回归方程的斜率和截距的一般公式：其中，其中，b是回归方程的斜率，是回归方程的斜率，a是截距。是截距。最小二乘法的公式的探索过程如下：最小二乘法的公式的探索过程
6、如下：设已经得到具有线性相关关系的变量的一组数据：设已经得到具有线性相关关系的变量的一组数据： （x1，y1），（），（x2，y2），），（，（xn，yn）设所求的回归直线方程为设所求的回归直线方程为Y=bx+a，其中其中a，b是待定是待定的系数。当变量的系数。当变量x取取x1，x2，xn时，可以得到时，可以得到 Yi=bxi+a（i=1，2，n）它与实际收集得到的它与实际收集得到的yi之间偏差是之间偏差是 yi-Yi=yi-(bxi+a)（i=1，2，n）（x1，y1）（x2，y2）（xi ，yi ）yi-Yiy x这样，用这这样，用这n个偏差的和来刻画个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏
7、差各点与此直线的整体偏差”是比较合适的。是比较合适的。（yi-Yi）的最小值的最小值ni=1|yi-Yi|的最小值的最小值ni=1（yi-Yi）2的最小值的最小值ni=1Q=(y1-bx1-a) 2+(y2-bx2-a) 2+(yn-bxn-a) 2当当a，b取什么值时，取什么值时，Q的值最小，即总体偏差最小的值最小，即总体偏差最小（xi-x）（）（yi-y）ni=1b=（xi-x）ni=1a=y-bx 问题归结为问题归结为:a,b取什么值时取什么值时Q最小最小,即总体和最小即总体和最小.Q = (y1-bx1-a)2 + (y2-bx2-a)2 + (yn-bxn-a)2先对先对a配方配方再
8、对再对b 配方配方我们可以用计算机来求我们可以用计算机来求回归方程回归方程。 人体脂肪含量与年龄之间的规律，由此人体脂肪含量与年龄之间的规律，由此回归直线来反映。回归直线来反映。 将年龄作为将年龄作为x代入上述回归方程，看看得代入上述回归方程，看看得出数值与真实值之间有何关系？出数值与真实值之间有何关系？年龄年龄23273941454950脂肪脂肪9.517.821.225.927.526.328.2回归值回归值12.815.122.023.225.527.828.4年龄年龄53545657586061脂肪脂肪29.630.231.430.833.535.234.6回归值回归值30.130.7
9、31.832.433.034.134.7 若某人若某人65岁，可预测他体内脂肪含量在岁，可预测他体内脂肪含量在37.1（0.57765-0.448= 37.1）附近的可能）附近的可能性比较大。但不能说他体内脂肪含量一定是性比较大。但不能说他体内脂肪含量一定是37.1。例、假设关于某设备的使用年限例、假设关于某设备的使用年限x（年）和所支出的维修年）和所支出的维修费用费用y（万元），有如下的统计资料：万元），有如下的统计资料：使用年限使用年限x（年）年） 2 3 4 5 6维修费用维修费用y（万元）万元） 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0若资料知若资料知y，x呈呈线性相关关系线性相关关系，
10、试求：，试求：（1） 线性回归方程线性回归方程Y=bx+a的的回归系数回归系数a、b；（2） 估计使用年限为估计使用年限为10年时，维修费用是多少？年时，维修费用是多少？i解：解：（1）于是有）于是有b=（112.3-5*4*5）/（90-5*42）=1.23, a=5-1.23*4=0.08（2）回归方程回归方程为为Y=1.23x+0.08，当当x =10时，时，Y=12.38 （万元），即估计使用万元），即估计使用10年时维护费用是年时维护费用是12.38万元。万元。小结小结1.1.求样本数据的线性回归方程，可按求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行：下列步骤进行：第一步，计算平均数第
11、一步，计算平均数 , 第二步，求和第二步，求和 , 第三步，计算第三步，计算 第四步，写出回归方程第四步，写出回归方程 2. 2.回归方程被样本数据惟一确定，各样回归方程被样本数据惟一确定，各样本点大致分布在回归直线附近本点大致分布在回归直线附近. .对同一个对同一个总体，不同的样本数据对应不同的回归直总体，不同的样本数据对应不同的回归直线，所以回归直线也具有随机性线，所以回归直线也具有随机性. . 3. 3.对于任意一组样本数据，利用上述对于任意一组样本数据，利用上述公式都可求得公式都可求得“回归方程回归方程”，如果这组数，如果这组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直据不具有线性相关关系，
12、即不存在回归直线，那么所得的线，那么所得的“回归方程回归方程”是没有实际是没有实际意义的意义的. .因此，对一组样本数据，应先作因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程求回归方程. .例例1：有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气：有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：饮杯数与当天气温的对比表：1、画出散点图；、画出散点图；2、从散点图中发现气温与热饮销、从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律
13、；售杯数之间关系的一般规律；3、求回归方程；、求回归方程；4、如果某天的气温是、如果某天的气温是2摄氏度，预摄氏度，预测这天卖出的热饮杯数。测这天卖出的热饮杯数。1、散点图、散点图2、从图、从图3-1看到，各点散布在从左上角到由下角的看到，各点散布在从左上角到由下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间成负相关，区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间成负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少。即气温越高，卖出去的热饮杯数越少。3、从散点图可以看出，这些点大致分布在一、从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此利用公式条直线的附近，因此利用公式1求出回归方程求出回归方程的系数。的系数。 Y= -2.352x+147.7674、当、当x=2时，时，Y=143.063 因此，某天的气温因此，某天的气温为为2摄氏度时，这天大约可以卖出摄氏度时，这天大约可以卖出143杯热饮。杯热饮。
