1、选修选修4-1几何证明选讲几何证明选讲第二讲第二讲 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系一一.圆周角定理圆周角定理圆周角定理圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆心角的一半。圆心角的一半。已知已知 在在 O中，中，BC所对的圆周角和圆心角分别是所对的圆周角和圆心角分别是BAC, BOC. 求证求证：BAC= BOC. ABOCABOC(1)(2)ABOC(3)圆心角定理圆心角定理 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。圆心角的度数等于它所对的弧的度数。推论推论1 同弧同弧或或等弧等弧所对的圆周角相等所对的圆周角相等; 同圆同圆或或等圆等圆中中,相等的圆
2、周角所对的弧也相等相等的圆周角所对的弧也相等.推论推论2 半半 圆圆(或直径或直径)所对的圆周角是直角所对的圆周角是直角; 90的的圆周角所对的弦是直径圆周角所对的弦是直径. 同圆或等圆中同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等相等的弧所对的圆心角相等,所对的圆周角也相等所对的圆周角也相等.习题习题2.1(P26)1.如图如图,OA是是 O的半径的半径,以以OA为直径的为直径的 C 与与 O的弦的弦AB交于点交于点D,求证求证:D是是AB的中点的中点.2.如图如图,圆的直径圆的直径AB=13cm,C为圆上一点为圆上一点,CD AB,垂垂足足D,且且CD=6cm.求求AD的长的长.ABDOCACB
3、D(第第1题题)(第第2题题)E圆内接多边形圆内接多边形-所有顶点都在一个圆上的多边形所有顶点都在一个圆上的多边形.这个圆称这个圆称多边形的外接圆多边形的外接圆.思考思考: 任意三角形都有外接圆任意三角形都有外接圆.那么那么 任意正方形有外接圆吗任意正方形有外接圆吗?为什么为什么? 任意矩形有外接圆吗任意矩形有外接圆吗? 等腰梯形呢等腰梯形呢? 一般地一般地, 任意四边形都有外接圆吗任意四边形都有外接圆吗?ABCDOABCDADBCDABC如果一个四边形内接于圆如果一个四边形内接于圆,那么它有何特征那么它有何特征?DABC如图（如图（1）连接OA,OC.则B= . D=定理定理1 圆内接多边形
4、的对角互补圆内接多边形的对角互补将线段将线段AB延长到点延长到点E,得到图（得到图（2）（1）DABCE（2）定理定理2 圆内接多边形的外角等于它的内角的对角。圆内接多边形的外角等于它的内角的对角。圆内接四边形判定定理圆内接四边形判定定理 如果一个四边形的对角互补如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆那么它的四个顶点共圆. 当问题的结论存在多种情形时当问题的结论存在多种情形时,通过对每一种通过对每一种情形分别论证情形分别论证,最后获证结论的方法最后获证结论的方法-穷举法穷举法推论推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么它的四个顶点共圆那
5、么它的四个顶点共圆. DABCE圆与直线的位置关系圆与直线的位置关系:相交相交-有两个公共点有两个公共点相切相切-只有一个公共点只有一个公共点相离相离-没有公共点没有公共点切线的性质定理切线的性质定理:O切线的性质定理切线的性质定理逆命题是否成立逆命题是否成立?M反反证证法法推论推论1: 经过经过圆心圆心且垂直于切线的直线必经过且垂直于切线的直线必经过切点切点.推论推论2: 经过经过切点切点且垂直于切线的直线必经过且垂直于切线的直线必经过圆心圆心.这与线圆相切矛盾这与线圆相切矛盾.思考思考:圆的切线垂直于经过切点的半径。圆的切线垂直于经过切点的半径。假设假设l与与OA不垂直不垂直,作作OM 因
6、因“垂线段最短垂线段最短”,故故OAOM,即圆心到直线距离小于半径即圆心到直线距离小于半径.A切线的判定定理切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。AOB直线与圆只有一个公共点直线与圆只有一个公共点,是切点。是切点。在直线上任取异于A的点B.连OB.则在RtABO中OBOA=r故B在圆外在图（）中，根据圆内接四边形性质，在图（）中，根据圆内接四边形性质， 有有在图（）中，是切线时，在图（）中，是切线时， 仍成立吗？仍成立吗？（）（）（）（）（）（）猜想：猜想：ABC是是 O的内接三角形，的内接三角形，CE是是 O的切线
7、，则的切线，则BCE= A.分析：延用从特殊到一般的思路。先分析分析：延用从特殊到一般的思路。先分析ABC为直角三角形时的情形，再将锐角三角形和钝为直角三角形时的情形，再将锐角三角形和钝角三角形的情形化归为直角三角形的情形。角三角形的情形化归为直角三角形的情形。OCOCOCAAAAABBBBBCCCCC下面五个图中的下面五个图中的BAC是不是弦切角？是不是弦切角？1.弦切角弦切角:顶点在圆上，一边与圆相交，顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角。另一边与圆相切的角叫做弦切角。几何语言几何语言: BA切切 O于于AAC是圆是圆O的弦的弦2.弦切角定理弦切角定理弦切角等于它所夹的弧
8、所对的圆周角。弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。DBAC= ADCm1.弦切角弦切角:顶点在圆上，一边与圆相交，顶点在圆上，一边与圆相交， 另一边与圆相切的角。另一边与圆相切的角。一般情况下，弦切角、圆周角、圆心一般情况下，弦切角、圆周角、圆心角都是通过它们角都是通过它们所夹的（或所对的）同一所夹的（或所对的）同一条弧（或等弧）条弧（或等弧）联系起来，因此，当已知联系起来，因此，当已知有切线有切线时时常添线构建弦切角常添线构建弦切角或或添切点添切点处的半径处的半径应用切线的性质求解。应用切线的性质求解。 2.弦切角定理弦切角定理: 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角弦切角等于它所夹的弧所对的圆周
9、角.小结：小结：注意：注意：探究探究1:AB是直径是直径,CD AB交点交点P.线段线段PA,PB,PC,PD之间有何关系之间有何关系?PAPB=PCPD1.相交弦定理相交弦定理 圆内的两条相交弦，被圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。交点分成的两条线段长的积相等。ACBPDOCABPDOACBPDOA(C.P)BD探究探究2:把两条相交弦的交点把两条相交弦的交点P从圆内从圆内 运动到圆上运动到圆上.再到圆外，再到圆外，结论结论 是否还能成立是否还能成立?PAPB=PCPDP在圆外:易证PADPCB 故故PAPB=PCPDP在圆上:PA=PC=0, 仍有 PAPB=PCPDAPC
10、BDPAC 2.割线定理割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等段长的积相等.A(B)PODCPAPB=PCPD探究探究3:使割线使割线PB绕绕P点运动到切线的点运动到切线的位置位置,是否还能成立是否还能成立?APBODCA(B)PODC连接AC,AD易证PACPDA 上式可上式可变形形为PA=PCPD3.3.切割线定理切割线定理 从圆外一点引圆的切从圆外一点引圆的切线和割线，线和割线，切线长切线长是这点到割线与圆是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项交点的两条线段长的比例中项. .故故P
11、APB=PCPD仍成立仍成立因为因为A,B重合，重合，探究探究4:使割线使割线PD绕绕P点运动到切线的点运动到切线的位置位置,可以得出什么结论可以得出什么结论?A(B)PODC易证易证Rt OAPRt OCP. PA=PC4.4.切线长定理切线长定理 从圆外一点引圆的两从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长条切线，它们的切线长相等相等, ,圆心和圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角这一点的连线平分两条切线的夹角. .A(B)POC(D)PA=PCPD思考思考:1.由切割线定理能证明切线长定由切割线定理能证明切线长定理吗理吗?如图由如图由P向圆任作一条割线向圆任作一条割线EF试试试试.A(B)P
12、OC(D)EF思考思考:2.你能将切线长定理推广到空间你能将切线长定理推广到空间的情形吗的情形吗?O1.（2013重庆高考14）如图如图,在在ABC 中中, , ，过，过C作作ABC的外接圆的外接圆的切线的切线CD, ,BD与外接圆交于点与外接圆交于点E,则则DE的长为的长为_52.（2013天津高考14）如图, ABC为圆的内接三角形, BD为圆的弦, 且BD/AC. 过点A 做圆的切线与DB的延长线交于点E, AD与BC交于点F. 若AB = AC, AE = 6, BD = 5, 则线段CF的长为_.3.（2013广东高考）如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上,延长BC到D使BC=CD,
13、过C作圆O的切线交AD于E.若AB=6,ED=2,则BC=_. .AEDCBO第第1515题图题图 4.（2013陕西高考）如图, 弦AB与CD相交于圆O内一点E, 过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P. 已知PD=2DA=2, 则PE=_. 5.（2013湖南高考）如图2,在半径 为的圆O中,弦AB、CD相交于点P,PA=PB=2，PD=1,则圆心0到弦CD的距离为_.6. （2013湖北高考）如图,圆O上一点C在直线AB上的射影为D,点D在半径OC上的射影为E.若AB=3AD,则的值 为_.第15题图CDOE87.（2013北京高考）如图,AB为圆O的直径,PA为圆O的切线,PB与圆
14、O相交于D.若PA=3, ,则PD=_;AB=_.4习题习题2.5 9题题 将例将例5的图的图(1)作如下变化作如下变化:以以A为中心为中心,把线段把线段AC绕绕A逆时针旋转一个角度逆时针旋转一个角度,连接连接EC并延长与圆相交于并延长与圆相交于F,连接连接DC并延长与圆相交于并延长与圆相交于G,连接连接FG,其他条件同例其他条件同例5,你能推你能推出哪些结论出哪些结论?如果如果BAD= CAD,又有什么结论又有什么结论?AB=ADAE CFCE=CDCG AC=ADAE AC=ABCAD= EAC, ADC ACE ACD= AEC= G AC/FG 作业：作业： P40 习题习题2.5 1、2、4
