1、2 2 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式行列式 称为行列式称为行列式 的的转置行列式转置行列式. . 记记性质性质1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等. .行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位, ,行列式的性质凡是对行行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立成立的对列也同样成立. .例例1 1 计算上三角形行列式计算上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为（主对角线下侧元素都为0 0）：）：四个结论：四个结论：(1) (1) 对角行列式对角行列式 (2) (2) (3) (3) 上三角形行列式上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为（主对角线下侧元
2、素都为0 0）(4) (4) 下三角形行列式下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为（主对角线上侧元素都为0 0）性质性质2 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变号. .验证验证于是于是推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零. .证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 ，所以，所以 . 备注：交换第备注：交换第 行（列）和第行（列）和第 行（列），记作行（列），记作 . .验证验证我们以我们以三三阶行列式为例阶行列式为例. . 记记 备注：第备注：第 行（列）乘以行（列）乘以 ，记作，记作 .
3、.性质性质3 3 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以 提到行列式符号的外面。提到行列式符号的外面。 验证验证我们以我们以4阶行列式为例阶行列式为例. . 性质性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零式为零则则性质性质5 5 若行列式中某一行（列）元素均为两数之和，若行列式中某一行（列）元素均为两数之和， 则行列式可按照该行分拆成两个行列式之和，则行列式可按照该行分拆成两个行列式之和， 其他各行保持不变其他各行保持不变. . （每次只能按照一行或者一列分拆每次只能按照一行或者一列分拆）
4、性质性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列然后加到另一列( (行行) )对应的元素上去，行列式不变对应的元素上去，行列式不变则则验证验证我们以我们以三三阶行列式为例阶行列式为例. . 记记 备注：以数备注：以数 乘第乘第 行（列）加到第行（列）加到第 行（列）上，记作行（列）上，记作. .例例4性质性质6的的应用举例应用举例计算行列式常用方法一：计算行列式常用方法一：利用运算利用运算 把行列式化为上三角形行列式，从而算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值得行列式的值解解性质7 行列式按行(列)展开定理行列式等于它
5、的任一行（列）的各元素与其对行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即应的代数余子式乘积之和，即行列式计算的方法之二行列式计算的方法之二: : 利用性质将行列式的某一行（列）多化一些零，然后利用性质将行列式的某一行（列）多化一些零，然后按该行（列）将行列式展开按该行（列）将行列式展开. .例例5划边使得代数余子式易于辨认例例8 例例9 证明n阶行列式例例11 计算计算 阶行列式阶行列式解解将第将第 列都加到第一列得列都加到第一列得例例12例例13 证明证明 用数学归纳法用数学归纳法例例1414 证明范德蒙德证明范德蒙德( (Vandermonde) )行列式行列式所以所
6、以n=2时时(1)式成立式成立.假设假设(1)对于对于n1阶范德蒙行列式成立，从第阶范德蒙行列式成立，从第n行开始，后行行开始，后行减去前行的减去前行的 倍：倍：按照第按照第1列展开，并提出每列的公因子列展开，并提出每列的公因子 ，就有，就有 n1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式练习练习例例15 总结总结 计算行列式的常用方法计算行列式的常用方法1.1.利用性质利用性质6 6将其化为上三角形行列式；将其化为上三角形行列式；2.2.在行列式中多化一些零，再利用按行按列在行列式中多化一些零，再利用按行按列 展开定理；展开定理；3.3.利用典型行列式进行计算：利用典型行列式进行计算： 如爪型、范德蒙、按边展开等如爪型、范德蒙、按边展开等. .例例16 性质性质7 7之推论之推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即分析分析 以以3阶行列式为例阶行列式为例. . 把第把第1行的元素换成第行的元素换成第2行的对应元素，则行的对应元素，则 综上所述，有综上所述，有同理可得同理可得例例16 设设 , , 的的 元的余子式和元的余子式和代数余子式依次记作代数余子式依次记作 和和 ，求，求分析分析 利用利用及及解解性质性质8 设设 证明证明
