1、上一页上一页 下一页下一页第五节第五节 空间直线空间直线及其方程及其方程空间直线的一般方程空间直线的一般方程空间直线的对称式方程空间直线的对称式方程与参数方程与参数方程两直线的夹角两直线的夹角直线与平面的夹角直线与平面的夹角(space right line)上一页上一页 下一页下一页定义定义 空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线.空间直线的一般方程空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程L注注(2) 直线直线L的一般方程形式不是唯一的的一般方程形式不是唯一的.上一页上一页 下一页下一页方向向量的定义方向向量的定义如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于/
2、二、空间直线的点向式方程与参数方程1.点向式方程点向式方程 一条直线一条直线可以可以有许多有许多方向向量方向向量. 求求此此直直线线的的方方程程一条已知直线一条已知直线,这个向量称这个向量称为这条直线的为这条直线的方向向量方向向量. .上一页上一页 下一页下一页直线的直线的对称式方程对称式方程因为因为故故/( (点向式、标准式）点向式、标准式）方向数方向数. .上一页上一页 下一页下一页令令直线的直线的参数方程参数方程故故直线方程的几种形式可以互相转换直线方程的几种形式可以互相转换.上一页上一页 下一页下一页则直线的一个方向向量为则直线的一个方向向量为: 于是对称式于是对称式方程可写成方程可写
3、成:一般一般, ,如直线过两点如直线过两点上一页上一页 下一页下一页解解 交点为交点为所求直线方程所求直线方程. A. B例例上一页上一页 下一页下一页1. 将对称式方程拆为一般方程将对称式方程拆为一般方程如对称式方程为如对称式方程为可写成一般方程可写成一般方程又如又如可写成一般方程可写成一般方程 各类直线方程的互换各类直线方程的互换上一页上一页 下一页下一页例例 化为对称式方程化为对称式方程.先求直线上一定点先求直线上一定点: 于是得直线上的一定点于是得直线上的一定点取取对称式方程对称式方程因因所求直线与两平面的法向量都垂直所求直线与两平面的法向量都垂直.法一法一2. 直线的一般方程化为对称
4、式方程直线的一般方程化为对称式方程 (重要重要)上一页上一页 下一页下一页 将将 化为对称式方程化为对称式方程.解解 法二法二 两点法两点法上一页上一页 下一页下一页两个对称式方程两个对称式方程实际上直线的对称式方程不唯一实际上直线的对称式方程不唯一.注意注意都满足这两个对称式方程都满足这两个对称式方程, 过两点确定唯一的过两点确定唯一的因此这两个对称式方程表示同一条因此这两个对称式方程表示同一条怎么不一样怎么不一样答答: :(当定点取得不同时对称式方程不同当定点取得不同时对称式方程不同).另外可验证另外可验证, 两个点两个点一条直线一条直线,直线直线.上一页上一页 下一页下一页写成比例式写成
5、比例式,解解 法三法三(1)(2)两个方程中两个方程中, 每一个只有两个变量每一个只有两个变量,共同的变量共同的变量即得即得对称式方程对称式方程.解出解出x. 将将 化为对称式方程化为对称式方程.上一页上一页 下一页下一页将直线的一般方程将直线的一般方程(2) 用代数的用代数的消元法消元法化为比例式化为比例式; 有两种方法有两种方法(1) 找点、方向向量（平面法向叉积，两点法）找点、方向向量（平面法向叉积，两点法）化为点向式方程化为点向式方程小结小结上一页上一页 下一页下一页3. 直线的参数方程直线的参数方程上式何时有用上式何时有用 宜于宜于直线的参数方程直线的参数方程故故答答: :直线与平面
6、的交点直线与平面的交点.上一页上一页 下一页下一页得得解解再代入再代入代入平面方程代入平面方程,求直线求直线例例与平面与平面的交点的交点.得得上一页上一页 下一页下一页解解 先作一过点先作一过点M且与已知直线垂直的平面且与已知直线垂直的平面 再求已知直线与该平面的交点再求已知直线与该平面的交点N,令令. M垂直相交垂直相交的直线方程的直线方程.例例上一页上一页 下一页下一页交点交点取所求直线的方向向量为取所求直线的方向向量为直线方程为直线方程为代入代入得得将将. M想一想想一想 还有别的方法吗还有别的方法吗?上一页上一页 下一页下一页定义定义直线直线直线直线两直线的两直线的方向向量的夹角方向向
7、量的夹角称之称之.两直线的夹角公式两直线的夹角公式三、两直线的夹角（锐角）（锐角）上一页上一页 下一页下一页两直线的位置关系两直线的位置关系:上一页上一页 下一页下一页 与直线与直线及及都平行且过原点的都平行且过原点的平面方程平面方程为为( ).1.练习：练习：上一页上一页 下一页下一页的交线平行的直线方程的交线平行的直线方程.解解 设所求直线的方向向量为设所求直线的方向向量为取取所求直线的方程所求直线的方程例例 过已知直线外一点作直线与已知直线平行过已知直线外一点作直线与已知直线平行上一页上一页 下一页下一页直线和它在平面上的投影直线的直线和它在平面上的投影直线的定义定义四、直线与平面的夹角
8、夹角夹角 称之称之.上一页上一页 下一页下一页直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式直线与平面的直线与平面的/(直线与平面垂直、平行的充要条件直线与平面垂直、平行的充要条件)位置关系：位置关系：上一页上一页 下一页下一页C上一页上一页 下一页下一页设有两块设有两块不平行不平行的平面的平面其中系数不互相其中系数不互相成比例成比例交成一条直线交成一条直线L过直线过直线L的所求全体平面的所求全体平面 平面束平面束(3)表示过直线表示过直线L的平面的平面上一页上一页 下一页下一页解解想一想想一想 还有别的方法吗还有别的方法吗? 试比较哪种方法试比较哪种方法简单简单?将点将点 代入代入(1)中中,得得
9、将将代入代入(1)中中,得得例例过过已知直线的平面束方程已知直线的平面束方程为为上一页上一页 下一页下一页例例解解 过过已知直线的平面束方程已知直线的平面束方程为为上一页上一页 下一页下一页由此得由此得代回平面束方程为代回平面束方程为上一页上一页 下一页下一页思考题思考题1求此直线方程求此直线方程.解解所确定的平面方程为所确定的平面方程为上一页上一页 下一页下一页即即的平面方程的平面方程:故所求方程故所求方程:即即上一页上一页 下一页下一页思考题思考题2问问: :求异面直线的公垂线的长有公式可循吗求异面直线的公垂线的长有公式可循吗? ?答答: :有有. .设直线设直线 为两异面直线为两异面直线, ,它们分别过点它们分别过点其方向向量分别为其方向向量分别为
