1、第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分第一节第一节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分一、问题的提出实例实例1:1:密度为密度为 的的曲线形构件的质量曲线形构件的质量匀质之质量匀质之质量分割分割求和求和取极限取极限近似值近似值精确值精确值实例实例2:2:柱面的面积柱面的面积分割分割求和求和取极限取极限近似值近似值精确值精确值二、对弧长的曲线积分的概念二、对弧长的曲线积分的概念1.定义定义被积函数被积函数积分弧段积分弧段积分和式积分和式曲线形构件的质量曲线形构件的质量柱面的面积柱面的面积2.存在条件：存在条件：3.推广推广注意：注意：4.性质性质 5.几何与几何与物理意义物理意义三、对
2、弧长曲线积分的计算三、对弧长曲线积分的计算定理定理在公式中注意在公式中注意: :特殊情形：特殊情形：例例1 1计算计算其中其中L的方程是的方程是解解例例2解解例例3 3 计算计算其中其中是以是以为顶点的为顶点的三角形边界三角形边界. .是分段光滑是分段光滑弧段弧段,解解在在OA上，上，故故在在AB上，上，故故故故在在BO上，上，因此因此例例4 4计算计算其中其中是螺线是螺线的的第一圈第一圈解解以圆弧的圆心为坐标原点以圆弧的圆心为坐标原点, ,例例5 5 有一段铁丝成半圆形有一段铁丝成半圆形L， 半径为半径为R，其上任一点的其上任一点的线密度的大小等于该点线密度的大小等于该点到其到其两端点连线的距离，两端点连线的距离，求其质量求其质量. .L的对称轴为的对称轴为y 轴轴, ,则则建立坐标系建立坐标系( (如图如图).).解解 L 的参数方程为的参数方程为例例6 6. . 计算计算 其中其中 为球面为球面 解解: : 化为参数方程化为参数方程 则则五、小结1 1、对弧长曲线积分的概念、对弧长曲线积分的概念2 2、对弧长曲线积分的计算、对弧长曲线积分的计算3 3、对弧长曲线积分的应用、对弧长曲线积分的应用思考题思考题1.1.以下两式正确否？以下两式正确否？区域区域则则( (错误错误) )曲线曲线则则( (正确正确) )
