1、二维随机变量的函数的分布二维随机变量的函数的分布设设 是二维随机变量是二维随机变量, , 其联合分布函数为其联合分布函数为 是随机变量是随机变量 的二元函数的二元函数 n 的分布函数的分布函数问题：如何确定随机变量问题：如何确定随机变量Z的分布呢？的分布呢？ 二维离散型随机变量的函数的分布二维离散型随机变量的函数的分布设设 是二维离散型随机变量是二维离散型随机变量, ,其联合分布列为其联合分布列为 则则 是一维的离散型随机变量是一维的离散型随机变量 其分布列为其分布列为 特别的，若特别的，若(X,Y)的分布列为：的分布列为：考虑考虑Z=X+Y的分布：的分布：例例 设设 的联合分布列为的联合分布
2、列为 YX-2-10-11/121/123/122/121/12032/1202/12求出（求出（1）X+Y；（；（2）X-Y；（；（3）X2+Y-2的分布列的分布列解解 由（由（X X，Y Y）的联合分布列可得如下表格）的联合分布列可得如下表格 概率1/121/123/122/121/122/122/12-3-2-1-3/2-1/21310-15/23/253-3-2-1-15/4-11/457解解 得所求的各分布列为得所求的各分布列为 X+Y-3-2-1-3/2-1/213概率1/121/123/122/121/122/122/12X-Y10-15/23/253概率1/121/123/12
3、2/121/122/122/12X2+Y-2-3-2-1-15/4-11/457概率1/121/123/122/121/122/122/12例例 证明：如果证明：如果X与与Y相互独立，且相互独立，且XB（n,p）， YB（m,p），），则则X+YB（n+m,p）证明证明: X+Y所有可能取值为所有可能取值为 0，1，,m+n. 证毕证毕 记记 住住 结结 论！论！两个两个独立独立随机变量的和的分布随机变量的和的分布n如果如果X X与与Y Y相互独立相互独立二维连续型随机变量的函数的分布二维连续型随机变量的函数的分布设设 是二维连续型随机变量是二维连续型随机变量, ,其联合分布密度为其联合分布密
4、度为 则则 是一维的连续型随机变量是一维的连续型随机变量 其分布函数为其分布函数为 是二元连续函数，是二元连续函数，其分布密度函数为其分布密度函数为 一般而言很难求得分布或密度函数的显式表达式一般而言很难求得分布或密度函数的显式表达式只考虑两个随机变量的和这一最简单情形只考虑两个随机变量的和这一最简单情形两个随机变量的和的分布两个随机变量的和的分布 如果如果（X，Y）的联合分布密度函数的联合分布密度函数为 f(x,y)，则，则Z=X+Y的分布密度函数为的分布密度函数为 或或 特别，当特别，当X，Y相互独立时，有相互独立时，有卷积公式卷积公式 或或 连续型随机向量和函数的分布连续型随机向量和函数
5、的分布设设(X,Y)的联合密度为的联合密度为f(x,y)令令Z=X+Y卷积公式卷积公式也可表为：也可表为：卷积公式卷积公式记记 住住 结结 论！论！两个两个独立独立随机变量的和的分布随机变量的和的分布n如果如果X X与与Y Y相互独立相互独立例例 设二维随机变量（设二维随机变量（X, Y）的概率密度为）的概率密度为求随机变量求随机变量 Z=X+2Y 的分布密度函数的分布密度函数解：解：例例 设二维随机变量（设二维随机变量（X, Y）的概率密度为）的概率密度为求随机变量求随机变量 Z=X+2Y 的分布函数的分布函数解解: 所求分布函数为所求分布函数为 分布密度函数为分布密度函数为 例例设设,是相互独立的服从是相互独立的服从N(0,1)的随机变量，求的随机变量，求 的密度函数。的密度函数。 解解: N(0,2)商的分布商的分布先证明：先证明：证明：证明：证明：证明：
