1、curvilinear integral第二节第二节 对坐标的对坐标的曲线积分曲线积分问题的提出问题的提出coordinates对对坐标坐标的曲线积分的概念的曲线积分的概念对坐标的曲线积分的计算对坐标的曲线积分的计算第十章第十章第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分两类曲线积分之间的关系两类曲线积分之间的关系小结小结 思考题思考题 作业作业1变力变力沿沿曲线曲线所作的功所作的功常力常力沿沿直线直线所作的功所作的功分割分割实例实例一、问题的提出一、问题的提出对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分2求和求和取极限取极限取近似取近似取取即即近似值近似值精确值
2、精确值对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分3二、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的概念1. 定义定义 设设L为为xOy面内从点面内从点A到点到点B的一条的一条有向有向光滑光滑 用用L上的点上的点:把把L分成分成n个有向小弧段个有向小弧段曲线弧曲线弧,在在L上有界上有界.上上任意取定的点任意取定的点.对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分4如果当各小段长度的最大值如果当各小段长度的最大值的的极限总存在极限总存在, 记作记作则称此极限为函数则称此极限为函数在有向曲线弧在有向曲线弧 L上上或称或称第二类曲线积分第二类曲线积分. .对对坐标坐标x的曲线积分的曲线积分, ,即即类似地定义类似地定义称称在
3、有向曲线弧在有向曲线弧 L上上对对坐标坐标y的曲线积分的曲线积分. .积分弧段积分弧段被积函数被积函数对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分52. 存在条件存在条件在光滑曲线弧在光滑曲线弧L上上3. .组合形式组合形式“点积点积”形形式式第二类曲线积分存在第二类曲线积分存在.连续连续, ,其中其中对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分64. 物理意义物理意义对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分75. 推广推广空间有向曲线弧空间有向曲线弧,对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分86. 性质性质LL1L2 对坐标的曲线积分与对坐标的曲线积分与(1)则则(2)有向曲线弧有向曲线弧,则则曲线的方向有关曲线的方向有关. .对
4、坐标的曲线积分对坐标的曲线积分9对坐标的曲线积分与曲线的方向有关对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.三、对坐标的曲线积分的计算三、对坐标的曲线积分的计算思想是思想是因此下限应是起点的坐标因此下限应是起点的坐标,化为定积分计算化为定积分计算. .上限是终点的上限是终点的坐标坐标.对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分10定理定理连续连续,且且对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分11特殊情形特殊情形(1)(2)则则则则对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分12(3)推广推广对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分13例例解解(1)对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分14(2)对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分15 其中其中是由点
5、是由点A(1,1,1)到点到点B(2,3,4)的直线段的直线段.直线直线AB的方程为的方程为解解化成参数式方程为化成参数式方程为于是于是例例对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分A点对应点对应B点对应点对应16例例(1) L是上半圆周是上半圆周 反时针方向反时针方向;解解A点对应点对应 (2) L是是x轴上由点轴上由点 到点到点 的线段的线段. (1)中中L的的参数方程参数方程为为B点对应点对应其中其中原式原式=对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分17(2) L的方程的方程为为原式原式=对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分(2) L是是x轴上由点轴上由点 到点到点 的线段的线段. 其中其中18设设A对应对应
6、例例设点设点 M(x,y,z) 的向径的向径一单位正电荷沿光滑曲线一单位正电荷沿光滑曲线:解解即即根据库伦定律根据库伦定律,位于原点位于原点(0,0,0)处的电荷处的电荷q产生的静电场中产生的静电场中,求电场所作的功求电场所作的功W.从点从点A移到点移到点B,B对对应应的电场力的电场力位于点位于点M处的单位正电荷受到处的单位正电荷受到对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分19因此所求的功为因此所求的功为其中其中分别是点分别是点A和和B到原点的距离到原点的距离.对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分 此此例例表明表明,静电场电场力作功只与正电荷运静电场电场力作功只与正电荷运动的起点和终点的位置有关动的起点和
7、终点的位置有关,而与运动的路径无而与运动的路径无关关.凡是具有这种特性的力场凡是具有这种特性的力场,称称保守力场保守力场. .20补充补充在分析问题和算题时常用的在分析问题和算题时常用的L在上半平面部分与在上半平面部分与P(x, y)为为P(x, y)为为其中其中L1是曲线是曲线L的上半平面的部分的上半平面的部分.类似地类似地,对称性质对称性质对对坐标坐标的曲线积分的曲线积分,当平面曲线当平面曲线L是分段是分段光滑的光滑的, 关于关于下半平面部分的走向相反时下半平面部分的走向相反时,x 轴对称轴对称, ,则则y的偶函数的偶函数y的奇函数的奇函数的讨论也有相应的结论的讨论也有相应的结论.对对对坐
8、标的曲线积分对坐标的曲线积分21例例直接化为定积分计算直接化为定积分计算,取逆时针方向取逆时针方向.解解 法一法一由曲线积分的性质由曲线积分的性质. 则则其中其中ABCDA为为对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分22将原式分成两部分将原式分成两部分,即即曲线关于曲线关于的走向与的走向与L在下半部分的走向相反在下半部分的走向相反,法二法二被积函数为被积函数为利用利用对称性质对称性质,L在上半部分在上半部分x轴对称轴对称,y的偶函数的偶函数.对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分原式原式23曲线关于曲线关于L在右半部分的走向与在右半部分的走向与L在左半部分的走向相反在左半部分的走向相反,被积函数为被积函数为
9、所以所以,y轴对称轴对称,x的偶函数的偶函数.对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分24四、两类曲线积分之间的关系四、两类曲线积分之间的关系设设有向有向平面曲线弧为平面曲线弧为则则对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分有向有向曲线弧曲线弧L的切向量为的切向量为正负号的选取要使切向量与曲线方向对应！正负号的选取要使切向量与曲线方向对应！25可用向量表示可用向量表示有向曲线元有向曲线元则则推广推广空间曲线空间曲线对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分正负号的选取要使切向量与曲线方向对应！正负号的选取要使切向量与曲线方向对应！26例例解解 所以所以把对坐标的曲线积分把对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分化为对弧长的曲
10、线积分. 其中其中L为沿抛物线为沿抛物线从点从点(0,0)到到(1,1).对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分27对坐标曲线积分的概念对坐标曲线积分的概念对坐标曲线积分的计算对坐标曲线积分的计算两类曲线积分之间的联系两类曲线积分之间的联系对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分五、小结五、小结四步四步:分割、取近似、求和、取极限分割、取近似、求和、取极限思想思想:化为定积分计算化为定积分计算对坐标曲线积分的物理意义对坐标曲线积分的物理意义变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功关于曲线方向的性质关于曲线方向的性质注意注意: : 对坐标的曲面积分的性质对坐标的曲面积分的性质28思考题思考题 1988年研究生考题年研究生考题,计算计算(9分分)对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分答案答案29作作 业业习题习题10-2 (14110-2 (141页页) ) 2. 3. (2) (3) (5) (7) 4. 5. 7.(2) (3) 8.对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分30
