1、第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学第二节第二节 偏导数偏导数 一、偏导数的定义及其计算法偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如 在在 处处 1.由偏导数定义知由偏导数定义知, 所谓所谓 f (x, y) 对对x 的偏的偏导数导数, 就是将就是将 y 看作常数看作常数, 将将 f (x, y) 看作一看作一元函数来定义的元函数来定义的. 注注因此因此,在实际计算时在实际计算时, 求求 f x (x, y)时时, 只须只须将将 y 看作常数看作常数,用一元函数求导公式求即可用一元函数求导公式求即可.求求 f y (x, y)时时, 只须将只须将 x 看作常
2、数看作常数,用一用一元函数求导公式求即可元函数求导公式求即可.2. f x (x0, y0) 就是就是 f x (x, y), 在点在点(x0, y0)的值的值. 算算 f x (x0, y0) 可用可用3种方法种方法.f y (x0, y0)f y (x, y)f y (x0, y0)(1) 用定义算用定义算.(2) 先算先算 f x (x, y), 再算再算 f x (x0, y0) f y (x, y),f y (x0, y0).(3)先算先算 f (x, y0), 再算再算 f x (x, y0) f x (x0, y0) f (x0, y), f y (x0, y),f y (x0,
3、 y0).解解 把把 看作常量，对看作常量，对 求导数求导数,得得 把把 看作常量，对看作常量，对 求导数求导数,得得 解解证证原结论成立原结论成立解解不存在不存在证证有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：.求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；定义求；解解. 偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续.一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，两个偏导数都存在的二元函数未必连续两个偏导数都存在的二元函数未必连续偏导与偏导与连续的关
4、系：连续的关系：4. 偏导数的几何意义偏导数的几何意义yxzoz = f (x, y)M0即即 f x (x0, y0) 表示表示 y = y0 与与 z = f (x, y)的交线的交线在在 M0处的切线对处的切线对 x 的斜率的斜率.T1 1 : z = f (x, y0) 1y0 x0yxzoz = f (x, y)M0 2 2 : z = f (x0 , y)类似得类似得 f y (x0, y0)的几何意义的几何意义. 如图如图即即 f y (x0, y0) 表示表示 x = x0 与与 z = f (x, y)的交线的交线在在 M0处的切线对处的切线对 y 的斜率的斜率.x0T2 从
5、几何上看从几何上看, f x (x0, y0)存在存在. 只保证了只保证了一元函数一元函数 f (x, y0)在在 x0 连续连续.也即也即 y = y0 与与 z = f (x, y)的截线的截线 1 在在 M0= (x0, y0 , z0)是连续的是连续的.同理同理, f y (x0, y0)存在存在. 只保证了只保证了x = x0 与与 z = f (x, y)的截线的截线 2 在在 M0连续连续.而曲面而曲面 z = f (x, y)在在 M0连续，是指连续，是指换句话说换句话说, 当当 (x,y) 从任何方向从任何方向, 沿任何曲沿任何曲线趋于线趋于(x0， y0 )时时, f (x
6、,y)的极限都是的极限都是 f (x0， y0 ). 显然显然, 上边两个条件都不能保证它成立上边两个条件都不能保证它成立.纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数偏导数.二、高阶偏导数解解解解问题：问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？相等？解解偏导数的定义偏导数的定义偏导数的计算、偏导数的几何意义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数高阶偏导数（偏增量比的极限）（偏增量比的极限）纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导（相等的条件）（相等的条件）三、小结思考题思考题思考题解答思考题解答不能不能.例如例如,
