1、第8章 二元一次方程组8.1 二元一次方程组一、创设情境一、创设情境, ,导入新课导入新课 问题问题: :古老的古老的“鸡兔同笼问题鸡兔同笼问题”“今有鸡兔同笼今有鸡兔同笼, ,上有三十五头上有三十五头, ,下有九十四下有九十四足足. .问鸡、兔各几何？问鸡、兔各几何？” 这是我国古代数学著作这是我国古代数学著作孙子算经孙子算经中记中记载的数学名题载的数学名题. .它曾在好几个世纪里引起过人们它曾在好几个世纪里引起过人们的兴趣的兴趣, ,这个问题也一定会使在座的各位同学感这个问题也一定会使在座的各位同学感兴趣兴趣. .怎样解答这个问题呢怎样解答这个问题呢? ? 方案一方案一: :算术方法算术方
2、法 把兔子都看成鸡把兔子都看成鸡, ,则多出则多出94-3594-352=242=24只脚只脚, ,每每只兔子比鸡多出两只脚只兔子比鸡多出两只脚, ,由此可先求出兔子有由此可先求出兔子有24242=12(2=12(只只),),进而鸡有进而鸡有35-12=23(35-12=23(只只).).类似地也类似地也可以先求鸡的数量可以先求鸡的数量.35.354-94=46,464-94=46,462=23.2=23. 方案二方案二: :列一元一次方程解列一元一次方程解 设有设有x只鸡只鸡, ,则有则有(35-(35-x) )只兔只兔, ,根据题意根据题意, ,得得2 2x+4(35-+4(35-x)=9
3、4()=94(解方程略解方程略).).一、创设情境一、创设情境, ,导入新课导入新课 “元元”是指什么是指什么? ?“次次”是指什么是指什么? ? 问题问题: :上面的问题可以用一元一次方程来解上面的问题可以用一元一次方程来解, ,还有其他方法吗？还有其他方法吗？（设鸡有（设鸡有x只，兔有只，兔有y只只, ,根据题根据题意可列两个方程如下）意可列两个方程如下）二、探究二元一次方程、二元一次方程组的概念二、探究二元一次方程、二元一次方程组的概念(1)(1)你能给这两个方程起个名字吗你能给这两个方程起个名字吗? ?(2)(2)为什么叫二元一次方程呢为什么叫二元一次方程呢? ?(3)(3)什么样的方
4、程叫二元一次方程呢什么样的方程叫二元一次方程呢? ?二、探究二元一次方程、二元一次方程组的概念二、探究二元一次方程、二元一次方程组的概念探究活动探究活动: :满足满足x+ +y=35=35的值有哪些的值有哪些? ?请填入表中请填入表中: :xy 方案三方案三: :设有设有x只鸡只鸡, ,y只兔只兔, ,依题意得依题意得 x+ +y=35, =35, 2 2x+4+4y=94.=94. 定义定义1:1:含有两个未知数含有两个未知数, ,并且含有未知数的项的次数并且含有未知数的项的次数都是都是1 1的方程的方程, ,叫做叫做二元一次方程二元一次方程. .二、探究二元一次方程、二元一次方程组的概念二
5、、探究二元一次方程、二元一次方程组的概念 在上面的问题中在上面的问题中, ,鸡、兔的只数必须同时满鸡、兔的只数必须同时满足足两个方程两个方程. .把把两个二元一次方程结合两个二元一次方程结合在一起在一起, ,用大括号来连接用大括号来连接. .我们也给它起个名字我们也给它起个名字, ,叫什么好呢叫什么好呢? ?二、探究二元一次方程、二元一次方程组的概念二、探究二元一次方程、二元一次方程组的概念 定义定义2:2:把两个二元一次方程合在一起把两个二元一次方程合在一起, ,就就组成了一个组成了一个二元一次方程组二元一次方程组. .即方程组中有两即方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是个未知
6、数，含有每个未知数的项的次数都是1 1，并且一共有两个方程，这样的方程组就叫做，并且一共有两个方程，这样的方程组就叫做二元一次方程组二元一次方程组. . 讨论讨论: :二元一次方程、二元一次方程组的二元一次方程、二元一次方程组的解的概念解的概念. .二、探究二元一次方程、二元一次方程组的概念二、探究二元一次方程、二元一次方程组的概念 启发启发: : (1)(1)若不考虑此方程与上面实际问题的联系若不考虑此方程与上面实际问题的联系, ,还可以取哪些值还可以取哪些值? ? (2) (2)你能模仿一元一次方程的解给二元一次方你能模仿一元一次方程的解给二元一次方程的解下定义吗程的解下定义吗? ? (3
7、) (3)它与一元一次方程的解有什么区别它与一元一次方程的解有什么区别? ? 定义定义3:3:使二元一次方程两边的值相等的两个使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值未知数的值, ,叫二元一次方程的解叫二元一次方程的解, ,记为记为二、探究二元一次方程、二元一次方程组的概念二、探究二元一次方程、二元一次方程组的概念 问问: :那么什么是二元一次方程组的解呢那么什么是二元一次方程组的解呢? ? 讨论达成共识讨论达成共识: :二元一次方程组的解必须同二元一次方程组的解必须同 时满足方程组中的两个方程时满足方程组中的两个方程. .即即: :既是方程既是方程的的 解，又是方程解，又是方程的解的解.
8、. 比如比如: :从方案一从方案一, ,我们知道我们知道, ,x=23,=23,y=12=12使方程使方程组中每一个方程都成立组中每一个方程都成立, ,所以我们把所以我们把 x=23,=23,y=12=12叫叫做做二、探究二元一次方程、二元一次方程组的概念二、探究二元一次方程、二元一次方程组的概念 定义定义4:4:二元一次方程组的两个方程的公共解，二元一次方程组的两个方程的公共解， 叫做二元一次方程组的解叫做二元一次方程组的解. . 注意注意: :二元一次方程组的解是成对出现的二元一次方程组的解是成对出现的, ,用大用大括号来连接括号来连接, ,表示表示“且且”. . 议一议议一议: : 将上
9、述将上述“鸡兔同笼鸡兔同笼”问题的三种方案进行优问题的三种方案进行优劣对比劣对比, ,你有哪些想法呢你有哪些想法呢? ? 二、探究二元一次方程、二元一次方程组的概念二、探究二元一次方程、二元一次方程组的概念二、探究二元一次方程、二元一次方程组的概念二、探究二元一次方程、二元一次方程组的概念 通过探究活动得出结论：通过探究活动得出结论： 1.1.二元一次方程的解是成对出现的二元一次方程的解是成对出现的. . 2. 2.二元一次方程的解有无数多个二元一次方程的解有无数多个, ,这与一元一这与一元一次方程有显著的区别次方程有显著的区别. . 通过对比通过对比, ,我们体验到从算术方法到代数方法我们体
10、验到从算术方法到代数方法是一种进步是一种进步. .而当我们遇到求多个未知量而当我们遇到求多个未知量, ,而且数量而且数量关系复杂时关系复杂时, ,列二元一次方程组比列一元一次方程列二元一次方程组比列一元一次方程容易容易, ,它大大减轻了我们的思维负担它大大减轻了我们的思维负担. .三、巩固新知三、巩固新知 对下面的问题对下面的问题, ,列出二元一次方程组列出二元一次方程组, ,并根据并根据问题的实际意义问题的实际意义, ,找出问题的解找出问题的解. . 加工某种产品需经两道工序加工某种产品需经两道工序, ,第一道工序每第一道工序每人每天可完成人每天可完成900900件件, ,第二道工序每人每天
11、可完成第二道工序每人每天可完成12001200件件. .现有现有7 7位工人参加这两道工序位工人参加这两道工序, ,应怎样安应怎样安排人力排人力, ,才能使每天第一、第二道工序所完成的才能使每天第一、第二道工序所完成的件数相等件数相等? ?三、巩固新知三、巩固新知解：解：设第一道工序需要设第一道工序需要x人，第二道工序需要人，第二道工序需要y人，人， 根据题意列方程组得根据题意列方程组得答：答：第一道工序需要第一道工序需要4 4人，第二道工序需要人，第二道工序需要3 3人人 例例1 1：下列各对数值中是二元一次方程：下列各对数值中是二元一次方程x+2+2y=2=2的解的是（的解的是（ ）三、巩
12、固新知三、巩固新知A,B,C 解法分析：解法分析： 将将A,B,C,D中各对数值逐一代入方程检验是否满足方中各对数值逐一代入方程检验是否满足方程，选程，选A,B,C. 变式变式: :其中是二元一次方程组其中是二元一次方程组 的解的解的是（的是（ ） 解法分析：解法分析：在例在例1 1的基础上的基础上, ,进一步检验进一步检验A,B，C中各对值是否满足中各对值是否满足2 2x+ +y=-2,=-2,使学生明确认识使学生明确认识到二元一次方程组的解必须同时满足两个方程到二元一次方程组的解必须同时满足两个方程. .B三、巩固新知三、巩固新知四、小结四、小结小结小结: :谈谈你本节课的收获谈谈你本节课
13、的收获. . 1. 1.每个方程都含有两个未知数每个方程都含有两个未知数( (x和和y) )，并且，并且未知数的次数都是未知数的次数都是1 1，像这样的方程叫做，像这样的方程叫做二元一二元一次方程次方程. . 2. 2.把两个二元一次方程合在一起，就组成了把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个一个二元一次方程组二元一次方程组. . 3. 3.使二元一次方程两边的值相等的两个未知使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做数的值，叫做二元一次方程的解二元一次方程的解. . 4. 4.一般地，二元一次方程组的两个方程的一般地，二元一次方程组的两个方程的公公共解共解，叫做，叫做二元一次方程组的解二元一次方程组的解. . 5. 5.二元一次方程二元一次方程有无穷多个解有无穷多个解；二元一次方；二元一次方程组程组有且只有一组解有且只有一组解. .四、小结四、小结教材习题教材习题8.18.1第第1,2,3,51,2,3,5题题. .五、布置作业五、布置作业谢谢大家！谢谢大家！再见！再见！
