1、第三节三重积分 换元法计算三重积分换元法计算三重积分一、柱面坐标求三重积分二、球面坐标求三重积分回顾回顾 三重积分的概念三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用 引例引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的物质,求分布在 内的物质的可得“分割分割, 近似近似, 求和求和, 取极限取极限”解决方法解决方法:质量 M .密度函数为定义定义. 设存在,称为体积元素体积元素, 若对 作任意分割任意分割: 任意取点任意取点则称此极限为函数在上的三重积分三重积分.在直角坐标系下常写作下列“乘积和式” 极限记作记作1. 利用直角坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分方法方法1 . 投影法
2、 (“先一后二”)方法方法2 . 截面法 (“先二后一”) 先假设连续函数 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算最后, 推广到一般可积函数的积分计算. 的密度函数 , 方法:方法方法1 . 投影法 (“先一后二”) 找 及在 面投影区域D。过D上一点 “穿线”确定 的积分上下限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按照二重积分的计算步骤计算投影区域D上的二重积分，完成”后二“这一步。方法方法2. 截面法截面法 (“先二后一先二后一”)为底, d z 为高的柱形薄片质量为该物体的质量为面密度记作2. 利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分 就称为点M 的柱坐标. 直角坐标与
3、柱面坐标的关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面 如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为，在二重积分的时候我们讲过极坐标的转化 面积微元为 因此其中适用范围适用范围:1) 积分域积分域表面用柱面坐标表示时方程简单方程简单 ;2) 被积函数被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.体积微元其中为由例例1. 计算三重积分所围解解: 在柱面坐标系下及平面柱面成半圆柱体.先二后一例例2. 计算三重积分解解: 在柱面坐标系下所围成 .与平面其中由抛物面原式 =例例3. 计算三重积分解解: 在柱面坐标系下所围立体.其中 与球面注：这个式子虽容易写出，但是要求积分结果非常难，我们能不能找到更加简便的方法来
4、研究这道题目呢？3. 利用球坐标计算三重积分利用球坐标计算三重积分 就称为点M 的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为球面半平面锥面如图所示, 在球面坐标系中体积元素为因此有其中适用范围适用范围:1) 积分域积分域表面用球面坐标表示时方程简单方程简单;2) 被积函数被积函数用球面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.例例5. 计算三重积分解解: 在球面坐标系下所围立体.其中 与球面这种方法简单多了！内容小结内容小结积分区域多由坐标面被积函数形式简洁, 或坐标系 体积元素 适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系* * 说明说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式换元积分公式:对应雅可比行列式为变量可分离.围成 ;（1）若空间闭区域关于平面 对称, 即即被积函数关于z为偶函数时，即被积函数关于z 为奇函数时,则当当其中 是 位于 平面上侧的部分. 积分区域关于其它坐标平面： 对称，且被积函数分别是 的奇、偶函数，也有上述类似的结论 一、利用空间区域的对称性或被积函数的奇偶性计算三重积分 （2）若空间区域具有轮换对称性，即则也就是三字母轮换积分区域不改变，4. 设由锥面和球面所围成 , 计算提示提示:利用对称性用球坐标 2. 计算其中解解:利用对称性关于 为奇函数
