1、1数学建模实 验王汝军王汝军河西学院数学与统计学院河西学院数学与统计学院2实验实验六六 动物动物的繁殖问题的繁殖问题王汝军王汝军河西学院数学与统计学院河西学院数学与统计学院实验目的实验目的n1加深对矩阵线性变换、方幂、特征根、加深对矩阵线性变换、方幂、特征根、对角化等概念的理解。对角化等概念的理解。n2掌握用矩阵变换在实际问题中的应用。掌握用矩阵变换在实际问题中的应用。n3学习使用学习使用MATLAB软件中与矩阵有关的软件中与矩阵有关的命令。命令。3实验内容实验内容n某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁，岁，将其分为三个年龄组：第一组将其分为三
2、个年龄组：第一组05岁；第二组岁；第二组610岁；第三组岁；第三组1115岁。动物从第二个年龄组开始岁。动物从第二个年龄组开始繁殖后代，第二个年龄组的动物在其年龄段平均繁殖繁殖后代，第二个年龄组的动物在其年龄段平均繁殖4个后代，第三个年龄组的动物在其年龄段平均繁殖个后代，第三个年龄组的动物在其年龄段平均繁殖3个后代。第一年龄组和第二年龄组的动物能顺利进个后代。第一年龄组和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为入下一个年龄组的存活率分别为0.5和和0.25。n假设假设农场现有三个年龄段的动物各有农场现有三个年龄段的动物各有1000头，计算头，计算5年后、年后、10年后、年后、15年
3、后各年龄段动物数量。年后各年龄段动物数量。20年年后农场三个年龄段的动物的情况会怎样？后农场三个年龄段的动物的情况会怎样？4实验内容实验内容n根据有关生物学研究结果，对于足够大的时间值根据有关生物学研究结果，对于足够大的时间值k ，有，有 （ 是莱斯利矩阵是莱斯利矩阵L的惟一正特的惟一正特征值）。征值）。n请检验这一结果是否正确，如果正确给出适当的请检验这一结果是否正确，如果正确给出适当的k值。值。n如果每五年平均向市场供应动物数如果每五年平均向市场供应动物数 ，在在20年后农场动物不至灭绝的前提下，年后农场动物不至灭绝的前提下，c应取多少为应取多少为好？好？5实验准备实验准备n1矩阵知识回顾
4、矩阵知识回顾n当矩阵的列数与某一个列向量元素个数一致时，当矩阵的列数与某一个列向量元素个数一致时，用矩阵乘以向量将得到另一个向量，这就是向量的用矩阵乘以向量将得到另一个向量，这就是向量的线线性变换性变换。n当矩阵是方阵时，线性变换可以持续进行。即用矩阵当矩阵是方阵时，线性变换可以持续进行。即用矩阵乘以一个向量得到一个新的向量，用同一矩阵再乘以乘以一个向量得到一个新的向量，用同一矩阵再乘以新的向量又获得另一个的向量新的向量又获得另一个的向量，这种运算的本质，这种运算的本质就是用就是用矩阵的方幂乘以最初的向量矩阵的方幂乘以最初的向量。n在线性代数应用中称为矩阵的方幂问题，它和矩阵的在线性代数应用中
5、称为矩阵的方幂问题，它和矩阵的特征根问题有密切关系，对它的研究导致了矩阵对角特征根问题有密切关系，对它的研究导致了矩阵对角化方法，这类方法在生物学研究等领域有着广泛应用。化方法，这类方法在生物学研究等领域有着广泛应用。6实验准备实验准备1n设设A是是数域数域 上的一上的一个个n阶阶矩阵，矩阵，行列式行列式叫作矩阵叫作矩阵A的的特征多项式，若特征多项式，若有有 ,那么那么 就是就是矩阵矩阵A的的特征多项式的特征根，那么方程特征多项式的特征根，那么方程的的一个非零解叫做一个非零解叫做矩阵矩阵A的的属于特征属于特征根根 的特征向量的特征向量7实验准备实验准备1n定理定理1令令A是数域是数域F的一个的
6、一个n阶矩阵，如果阶矩阵，如果A的的特征多项式特征多项式 在在F内有内有n个根，那么存在一个根，那么存在一个个n阶可逆矩阵阶可逆矩阵T ，使得，使得8实验准备实验准备29nd = eig( A )求矩阵求矩阵A的特征根；的特征根；n V , D = eig( A )求求矩矩阵阵A的的特特征征根根和和特特征征向向量量，其其中中V表表示示特特征征向向量量，D表表示示特特征根；征根；n V , D = eigs( A )求求稀稀疏疏矩矩阵阵A的的特特征征根根和和特特征征向向量量，其其中中V表表示示特特征征向向量量，D表表示特征根；示特征根；n有关该命令的详细信息可查阅帮助。有关该命令的详细信息可查阅
7、帮助。问题分析问题分析n由题设，在初始时刻由题设，在初始时刻05岁、岁、610岁、岁、1115岁的岁的三个年龄段动物数量分别为：三个年龄段动物数量分别为：n以以五年为一个年龄段，则某一时刻三个年龄段的动物数五年为一个年龄段，则某一时刻三个年龄段的动物数量可以用一个量可以用一个向量向量 表示。表示。 以以五年为一个时间段，五年为一个时间段，记记为为第第 个时段动物数分布向量。个时段动物数分布向量。10n当当k0，1，2，3时，时， 分别表示现在、五年后、分别表示现在、五年后、十年后、十五年后的动物数分布向量。十年后、十五年后的动物数分布向量。n根据第二年龄组和第三年龄组动物的繁殖能力，在第根据第
8、二年龄组和第三年龄组动物的繁殖能力，在第k 个时间段，第二年龄组动物在其年龄段平均繁殖个时间段，第二年龄组动物在其年龄段平均繁殖4个，个，第三年龄组动物在其年龄段平均繁殖第三年龄组动物在其年龄段平均繁殖3个后代。个后代。n由此得第一年龄组在第由此得第一年龄组在第 k1个时间段的数量如下个时间段的数量如下n同理，根据第一年龄组和第二年龄组的存活率，可得等同理，根据第一年龄组和第二年龄组的存活率，可得等式式11建立模型建立模型12模型分析模型分析n由此得向量由此得向量 和和 的递推关系式的递推关系式nn其中矩阵其中矩阵13MATLAB求解求解n为了计算五年后、十年后、十五年后农场中动物的为了计算五
9、年后、十年后、十五年后农场中动物的数量，输入初始数据和莱斯利矩阵，在数量，输入初始数据和莱斯利矩阵，在MATLAB命命令窗口中键入下面命令：令窗口中键入下面命令：n x0=1000;1000;1000;n L=0 4 3;0.5 0 0;0 0.25 0;n x1=L*x0nx1 =7000500250n x2=L*x1nx2 =27503500125n x3=L*x2nx3 =14375137587514n x4=L*x3nx4 =n 1.0e+003 *n8.12507.1875n为了计算莱斯利矩阵的特征值，键入下面的命令：为了计算莱斯利矩阵的特征值，键入下面的命令：n eig(L)nan
10、s =1.5000 -1.3090 -0.1910n这说明矩阵这说明矩阵L的惟一正特征值为的惟一正特征值为0.343815n为了验证为了验证n编辑编辑M脚本文件脚本文件animal.m，运行下面的程序：，运行下面的程序：nd=1.5;nx=1000;1000;1000;nL=0 4 3;1/2 0 0;0 1/4 0;ny=L*x;ny1=d*x;nk=1;16nwhile max(abs(y-y1)0.00001n x=y;n y=L*x;n y1=d*x;n k=k+1;nendnK,n可知，当可知，当k285时，有结论时，有结论17结果分析结果分析n将计算结果制成表，得到五年后、十年后将
11、计算结果制成表，得到五年后、十年后、十五年后和二十年后农场中动物的数量十五年后和二十年后农场中动物的数量18K现在k1（5年后）k1（10年后）k1（15年后）k1（20年后）x1 100070002750143758125x2 1000500350013757187.5x3 1000250125875343.8结果分析结果分析n从表中数据的变化（如果没有其它的原因），从表中数据的变化（如果没有其它的原因），可估计农场的动物总量会逐步增加。可估计农场的动物总量会逐步增加。n在验证生物学研究的结论在验证生物学研究的结论 时，时，当当k285时可以得到如下结论时可以得到如下结论nx =n1.0e+
12、053 *n4.36161.45390.2423n这说明多年以后，动物数量是大得非常惊人这说明多年以后，动物数量是大得非常惊人的。的。19结论结论n如果每个五年平均向市场供应动物如果每个五年平均向市场供应动物 分析动物数分布向量变化规律可知分析动物数分布向量变化规律可知所以所以有有20结论结论n考虑考虑20年后动物不灭绝，年后动物不灭绝，应有应有即即有有由于由于c是是常数向量，简单求解不等式组，常数向量，简单求解不等式组，可取可取 c=152,152,152T这说明每五年农场平均向市场供应三个年龄这说明每五年农场平均向市场供应三个年龄段的动物各段的动物各152头，在头，在20年后农场各年龄段的年后农场各年龄段的动物不会绝种。动物不会绝种。21思考与练习思考与练习课后习题课后习题P208页第二题页第二题22
