1、1 二次函数二次函数 一、基础知识一、基础知识 1二次函数有以下三种解析式： 一般式：_ 顶点式：_ 零点式：_其中21,xx是方程02=+cbxax的根 2研究二次函数的图像要抓住开口方向、顶点坐标，讨论二次函数的单调性和最值除抓住开口方向、顶点坐标外，还要抓住对称轴与所给区间的相对位置。 3二次函数的单调性 （1） 当 a0 时， 函数在ab2,上 递减 ， 在+,2ab上 递增 ， 并且当 x = ab2时，.44)(2minabacxf= （2） 当 a0 时， 函数在ab2,上 递增 ， 在+,2ab上 递减 ， 当 x = ab2时，.244)(2max=abfabacxf 4二次
2、函数一般问题大多通过数形结合求解，二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的内在联系及相应转化 （1）)0()(2+=acbxaxxf的图像与 x 轴交点的横坐标是方程 f(x)=0 的实根； （2）利用二次函数的图像和性质，讨论一元二次方程实根的分布：.一看开口,二看,三看对称轴,四看端点值. 设21,xx是方程2( )0(0)f xaxbxca=+=的两个实根，写出下列各情况的充要条件 当mxmx21,时，_ 当在),(nm有且只有一个实根时，_ 当在),(nm内有两个不相等的实根时，_ 当两根分别在),(nm,),(qp且( , )( , )m np q =时，_ 5二次函数在闭区间上
3、必有最大值和最小值，当含有参数时，须对参数分区间讨论. 若 a0，二次函数 f (x)在闭区间p、q上的最大值为 M，最小值为 N.，令 x0 =)(21qp+ 2 若pab2，则 M = ， N = ； 若qab2，则 M = ， N = ； 若02xabp，则 M = ，N = ； 若qabx20，则 M = ，N = 6二次不等式转化策略 (1)二次不等式 f(x)=ax2+bx+c0 的解集是： (,) ,+)a0 时，f()f() |+ab2|+ab2|,当 a0 时，f()|+ab2|; (3)当a0时， 二次不等式f(x)0在 p,q 恒成立, 0)(,2pfpab或; 0)(;
4、2, 0)2(,2qfpababfqabp或二.自主热身 1. 已 知 函 数2243yxax=在 区 间1,2上 具 有 单 调 性 ， 则 实 数a的 范 围为 . 1若2|(2)10 ,|0 ,Ax xpxBx x=+ =，且,AB=则实数p的取值范围是_ 2 方程0122=+ mxmx有一根大于 1， 另一根小于 1， 则实根m的取值范围是_ 3函数2( )223f xaxxa=+ 在 1,1上有零点，则实数a的取值范围为_ 4已知二次函数 f(x)=4x22(p2)x2p2p+1,若在区间1，1内至少存在一个实数c使 f(c)0,则实数 p 的取值范围是_ 5 函数2( )lg(21
5、)f xaxx=+,若( )f x的定义域为R时,实数a的取值范围为,A若( )f x的值域为R时,实数a的取值范围为.B则AB = 6 二次函数 f(x)的二次项系数为正， 且对任意实数 x 恒有 f(2+x)=f(2x),若 f(12x2)f(1+2xx2),则 x 的取值范围是_ 7若关于x的不等式22(21)xax的解集中整数恰好有 3 个，则实数a的取值范围 是_ 8函数2( )2(1)|1|,f xxxx=+则( )f x的最小值为 9函数2( )22f xxx=+在区间 ,1()t ttR+上的最小值记为( )g t则( )g t的函数表达式3 为 二、例题精练二、例题精练 例
6、1已知函数2( )| 1f xxxa=+求( )f x的最小值； 4 例 2.已知二次函数( )yf x=在1x = 时取得最小值3,且满足15(2).4f= (1)求函数( )yf x=的解析式. (2)当函数( )yf x=在 23,2mm+上的最小值是94时,求m的值. 5 例 3.设二次函数2( )(0), |( )f xaxbxc aAx f xx=+= （1）若1,2A=，(0)0f，方程( )0f x =两根都小于1，求 a 的取值范围； （2）若2A=，求 ( )f x在 2,2上的最大( )g a. 6 例 4.设二次函数2( )(0),f xaxbxc a=+方程( )0f
7、 xx=的两个根12,x x满足1210.xxa (1)当1(0,)xx时,证明：1( ).xf xx (2)设函数( )f x的图象关于直线0 xx=对称,证明：10.2xx 7 例 5（1）.已知函数2( )2f xxaxb=+的两个零点分别在(0,1),(1,2)内，则21ba的范围为 （2） .已知2( )| 1f xxxa=+有大于0的零点， 则实数a的范围为 . （3）方程43210 xaxbxax+ =有实根，则22ab+的最小值为 . 4.已知函数2( )2f xxxa=+的最小值为0，记( )( )f xg xx= （1）求a的值； （2）若不等式1(2 )20 xxgm+对
8、任意 1,1x 都立，求实数m的范围； （3）关于x的方程2(|( ) 1|)|( ) 1|kgf xkf k=有六个不等实根，求实数k的范围. 8 例 6.已知函数32( ),f xxaxbxc=+其中, ,a b c均为实数. (1)若022=+ca,判断函数)(xf的奇偶性,并说明理由. (2)若3) 3()2() 1(0=fff,求cba+的范围. (3)若3)()(xxfxg=,且0) 1(=g,是否存在, ,a b c,使得21)(2+xxgx对于xR恒成立,若有,求)(xg的解析式?若无,说明理由. 9 二次函数课后练习二次函数课后练习 1.二次函数cbxaxy+=2的图像如图所
9、示， 记bacbaMbacbaN+=+=2,2， 则 M 与 N 的大小关系是_ 2已知函数1)3()(2+=xmmxxf的图像与 x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数 m 的取值范围为 3设函数( )|f xx xbxc=+，给出下列四个命题： c0 时，( )f x是奇函数； b0，c0 时，方程( )f x0 只有一个实根； ( )f x的图象关于（0，c）对称； 方程( )f x0 至多两个实根其中正确的命题是 4.已知函数21( )kf xxx+=+，若关于x的方程(|21|)320 xfk=，有四个不同的实数根，则实数k的取值范围是_ 5已知1( )ln1af xxaxx=+ （1） 讨论( )f x的单调性； （2） 设2( )24g xxbx=+，当14a =时，若对任意1(0,2)x ，存在21,2x ，使12( )()f xg x，求实数b的取值范围 10 6已知函数( )|f xx xaa= （1）当2a=时， 写出( )f x的单调区间；解不等式( )1f x ；求( )f x在0m，的最大值； （2）若函数( )f x无减区间，求a的取值集合； （3）讨论( )yf x=的零点个数，并求出零点； （4） 若对任意1(4x ， 均存在23)x +，使得212| 6()xaaaf x+成立， 求a的取值范围
