1、工程数学（线性代数）复习资料一、矩阵和行列式1、了解矩阵的相关概念；矩阵的加、减、数乘以矩阵和矩阵的乘法；会求逆矩阵；2、了解行列式相关性质及利用行列式的性质进行运算；3、理解n级排列的定义，会求排列的逆序数并判断是奇排列还是偶排列；4、会利用克莱姆法则判断方程组的解并解方程。二、向量空间1、了解向量的相关概念；熟悉向量的运算；2、理解向量组线性相关和线性无关的定义；并能判断向量组线性相关和线性无关；3、了解向量组秩的概念并能求出其秩。三、矩阵的秩与线性方程组1、了解矩阵秩的概念并能利用矩阵的初等行变换求矩阵秩；2、利用高斯消元法解线性方程组；3、利用矩阵的秩来判断齐次解线性方程组和非齐次解线
2、性方程组解的结构。四、特征值与特征向量1、熟悉特征值与特征向量的基本概念、性质及运算；2、了解相似矩阵的概念、方阵可对角化的充要条件；3、了解内积、正交向量组与正交矩阵的概念；能利用施密特正交化方法把向量组化成正交单位向量组。附复习题一、 单项选择题1设A为3阶方阵，且|A|2，则|2A-1|=（D）A-4 B-1 C1D42设A为任意n阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（B）AAATBAAT CAATDATA3矩阵的逆矩阵是（C）A B C D4设行列式=1，=2，则=（D）A-3 B-1 C1D35设矩阵A，B，C为同阶方阵，则（ABC）T=（B）AATBTCT BCTBTAT CCTAT
3、BT DATCTBT6设向量组1，2，s线性相关，则必可推出（D）A1，2，s中至少有一个向量为零向量B1，2，s中至少有两个向量成比例C1，2，s中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合D1，2，s中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合7设A为mn矩阵，则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是（C）AA的列向量组线性无关BA的列向量组线性相关CA的行向量组线性无关DA的行向量组线性相关8设，则A的特征值是（C）A B C D9设行列式D=3，D1=，则D1的值为（C）A-15 B-6 C6D1510设3阶方阵A的秩为2，则与A等价的矩阵为（B）A B CD11向量组1，2，s
4、，(s2)线性无关的充分必要条件是（D）A1，2，s均不为零向量B1，2，s中任意两个向量不成比例C1，2，s中任意s-1个向量线性无关D1，2，s中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示12设A，B为可逆矩阵，则分块矩阵的逆矩阵为（ A ）A B C D13设A，B均为方阵且可逆，满足则下列命题中正确是（C ）A B CD14设A，B均为阶方阵且可逆，为A的行列式，则下列命题中不正确是（ B ）A B CD15设A、B、C均为n阶方阵，则下列命题中不正确是（C ）A B C D16设A、B为n阶方阵，满足，则必有（B）A或 B或 C D17.3阶行列式=中元素的代数余了式=（ B ）A
5、-2 B-1 C1D218设A为矩阵，且非奇次线性方程组有唯一解，则必有（ C ）A B秩 C秩 D秩 19设n阶可逆矩阵A、B、C满足ABC=E，则B-1=（ A ）AA-1C-1 BC-1A-1 CAC DCA20设是一个4维向量组，若已知可以表为的线性组合，且表示法惟一，则向量组的秩为（ C ）A1 B2 C3D421设向量组，下列命题中正确是（ C ）A线性无关 B线性无关C线性无关D线性无关22矩阵的特征值是（ A ）A BC D23排列的逆序数为（ C ）A B C D24排列（1，8，2，7，3，6，4，5）是（ A ） A偶排列 B奇排列 C非奇非偶 D以上都不对25齐次线性方
6、程组有零解的充要条件是（ A ） A B C D二、填空题1若则行列式=（ 0 ）2设矩阵A=，则行列式|ATA|=（ 4 ）3若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式的值为 （ 0 ）4设矩阵A=，矩阵B=A-E，则矩阵B的秩r(B)=（ 2 ）5设A是43矩阵，若齐次线性方程组Ax=0只有零解，则矩阵A的秩r(A)= （ 4 ）6已知某个3元非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵经初等行变换化为：，若方程组无解，则a的取值为（ 0 ）7设 使，则（）8设矩阵A=，B=，则ATB= 9方程组的基础解系为（ ）.10设向量组1=（6，4，1，-1，2），2=（1，0，2，3，4），3=（1，4，-
7、9，-6，22）4=（7，1，0，-1，3），则向量组的秩为 （ 4 ）11设A可逆，可逆，则（）.12.设矩阵A=，P=，则.13.设矩阵A=，则A-1=14. （）15.使排列为偶排列，则（ 8 ）（ 3 ）.16已知3阶行列式=6，则=（）.17若是方阵A的一个特征值，则（ 0 ）.18设A=，则A2-2A+E=.19.若向量组，线性相关，则（ 1 ）.20.设向量组=（a,1,1）,=（1,-2,1）, =（1,1,-2）线性相关，则数a=（-2）.21.若向量组U与向量组（1，2，3，4），（2，3，4，5），（0，0，1，2）等价，则U的秩（3）.22.设A为3阶方阵，则（ 24
8、）23.方程组，当（ 1 ）时有无穷多解。三、计算题1计算3阶行列式 解：2设A=求A-1解：3设向量组， ， （1）求向量组的一个最大线性无关组；（2）将其余向量表为该最大线性无关组的线性组合.解：， 4求齐次线性方程组的基础解系及结构解.解： 分别令 得一个基础解系： 结构解：5求矩阵的特征值及对应的全部特征向量.解： 令 不全为零 令6.计算行列式D=的值.解：7.已知矩阵A=，B=，（1）求A的逆矩阵A-1； （2）解矩阵方程AX=B.解：（1） （2）8计算行列式D=的值.解： 9设向量组1,2,3线性无关，令试确定向量组1，2，3的线性相关性.解： 1，2，3线性无关 10.已知3阶行列式=中元素的代数余子式A12=8，求元素的代数余子式A21的值.解： 11.已知矩阵A，B=,矩阵X满足AX+B=X，求X.解： 12.设3元齐次线性方程组，确定当a为何值时，方程组有非零解；解：13.证明证： 14.设矩阵，其中A=， ，求矩阵解： 15设A为阶对称矩阵，B为阶可逆矩阵，且，证明是对称矩阵证： 16设，求解： 17为何值时，方程组有唯一解，无穷多解或无解解：，有唯一解； ，有无穷多解；无解18设矩阵，确定的值，使最小解： 9
