1、全国2002年10月高等教育自学考试线性代数试题课程代码：02198第一部分 选择题试卷说明：AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式。一、单项选择题(本大题共14小题，每小题2分，共28分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。错选或未选均无分。1设矩阵A=(1,2,3)，B=，则AB为（ ）A.B.C.（1,0,6）D.72n阶行列式的值为（ ）A.a1a2anB.-a1a2anC.(-1)n-1a1a2anD.(-1)na1a2an3设行列式，则k的取值为（ ）A.2B.-2或3C.0
2、D.-3或24设-2是3阶方阵A的一个特征值，则A2必有一个特征值为（ ）A.-8B.-4C.4D.85设A、B均为n阶矩阵，且A可逆，则下列结论正确的是（ ）A.若AB0，则B可逆B.若AB=0，则B=0C.若AB0，则B不可逆D.若AB=BA，则B=E6向量组（）：1,2, r和向量组（）：1，2，s等价的定义是向量组（ ）A.（）和（）可互相线性表示B.（）和（）中有一组可由另一组线性表示C.（）和（）中所含向量的个数相等D.（）和（）的秩相等7下列矩阵中，不是二次型矩阵的为（ ）A.B.C.D. 8设3阶方阵A的元素全为1，则秩(A)为（ ）A.0B.1C.2D.39设A为3阶方阵，且
3、行列式|A|=1，则|-2A|之值为（ ）A.-8B.-2C.2D.810同阶方阵A、B相似的充分必要条件是（ ）A.存在可逆矩阵P，使P-1AP=BB.存在可逆矩阵P，使PTAP=BC.存在两个可逆矩阵P和Q，使PAQ=BD.A可以经过有限次初等变换变成B11若线性方程组无解，则等于（ ）A.2B.1C.0D.-112设1、2和1、2是方程组Ax=0的两个不同的基础解系，则下列结论中正确的是（ ）A.向量组1,2,1的秩小于向量组1,2的秩B.向量组1,2,1的秩等于向量组1,2的秩C.向量组1,2,1的秩大于向量组1,2的秩D.向量组1,2,1,2的秩大于向量组1,2的秩13设A为n(n2
4、)阶方阵，且A的行列式|A|=a0，则|A*|等于（ ）A.a-1B.aC.an-1D.an14设向量1=（1,a,a2），2=(1,b,b2),3=(1,c,c2)，则向量组1,2,3线性无关的充分必要条件是（ ）A.a,b,c全不为0B.a,b,c不全为0C.a,b,c不全相等D.a,b,c互不相等第二部分 非选择题二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。15设矩阵A=，则ATA= .16设A、B均为3阶方阵，且|A|=3，|B|=-2，则|ABT|= .17已知向量=(3,2,4,5),=(-1,5,1,-2),
5、且+=，则向量= .18设1,2是n(n3)元齐次线性方程组Ax=0的基础解系，则秩(A)= .19设向量1=（1,2,-1）,2=(3,2,1),则内积(1,2)= .20设矩阵A=，则二次型xTAx= .21设3阶方阵A的秩为2，矩阵P=，Q=若矩阵B=PAQ，则秩(B)= .22已知是方阵A的一个特征值，则|A|= .23设A=，则An= .24设二次型f(x1,x2,x3)=xTAx经正交变换化为标准形，则A的最小的特征值是 .三、计算题(本大题共7小题，每小题6分，共42分)25计算行列式的值.26已知矩阵A=，秩(A)=2，求k的值.27试求矩阵方程X=中的未知矩阵X.28求向量组
6、1=(2,-1,0,3),2=(1,2,5,-1),3=(7,-1,5,8)的秩，并说明这个向量组是线性相关还是线性无关.29当a为值何时，方程组 有解？在有解时，求出它的通解（用导出组的基础解系表出）.30已知向量1=(1,1,1)T,2=(1,-2,1)T正交，求一个3维列向量3，使得3与1、2都正交.31试用正交换将二次型f(x1,x2)=化为标准形，并写出标准形及所用的正交变换.四、证明题(本大题共2小题，每小题5分，共10分) 32设向量组1,2,3线性无关，且1=1-2-3， 2=1+2-3， 3=1-2+3，试证明向量组1,2,3线性无关.33设A为n阶矩阵，、是A的两个不同的特征值，x1、x2依次是属于、的特征向量，试证明x1+x2不是A的特征向量.第 4 页
