1、 第二十一章 一元二次方程 211 一元二次方程 1. 了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题 2掌握一元二次方程的一般形式 ax2bxc0(a0)及有关概念 3会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念 重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索 难点： 由实际问题列出一元二次方程； 准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项 一、自学指导(10 分钟) 问题 1： 如图，有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起， 就能制作一个无盖方盒 如果要制作的无盖方盒的底面积为
2、 3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 分析：设切去的正方形的边长为 x cm，则盒底的长为_(1002x)cm_，宽为_(502x)cm_列方程_(1002x) (502x)3600_，化简整理，得_x275x3500_ 问题 2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 分析：全部比赛的场数为_4728_ 设应邀请 x 个队参赛，每个队要与其他_(x1)_个队各赛 1 场，所以全部比赛共x（x1）2_场列方程_x（x1）228_，化简整理，得_x2x560_ 探究： (
3、1)方程中未知数的个数各是多少？_1 个_ (2)它们最高次数分别是几次？_2 次_ 归纳：方程的共同特点是：这些方程的两边都是_整式_，只含有_一个_未知数(一元)，并且未知数的最高次数是_2_的方程 1一元二次方程的定义 等号两边都是_整式_ ，只含有_一_个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是_2_(二次)的方程，叫做一元二次方程 2一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式： ax2bxc0(a0) 这种形式叫做一元二次方程的一般形式其中_ax2_是二次项，_a_是二次项系数，_bx_是一次项，_b_是一次项系数，_c_是常数项 点拨
4、精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号二次项系数 a0是一个重要条件，不能漏掉 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视(6 分钟) 1判断下列方程，哪些是一元二次方程？ (1)x32x250； (2)x21； (3)5x22x14x22x35； (4)2(x1)23(x1)； (5)x22xx21; (6)ax2bxc0. 解：(2)(3)(4) 点拨精讲： 有些含字母系数的方程， 尽管分母中含有字母， 但只要分母中不含有未知数，这样的方程仍然是整式方程 2 将方程 3x(x1)5(x2)化成一元二次方程的一般形式， 并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项
5、 解：去括号，得 3x23x5x10.移项，合并同类项，得 3x28x100.其中二次项系数是 3，一次项系数是8，常数项是10. 点拨精讲：将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果(8 分钟) 1求证：关于 x 的方程(m28m17)x22mx10，无论 m 取何值，该方程都是一元二次方程 证明：m28m17(m4)21， (m4)20， (m4)210，即(m4)210. 无论 m 取何值，该方程都是一元二次方程 点拨精讲： 要证明无论 m 取何值， 该方程都是一元二次方程， 只要证明 m28m170
6、即可 2下面哪些数是方程 2x210 x120 的根？ 4，3，2，1，0，1，2，3，4. 解：将上面的这些数代入后，只有2 和3 满足等式，所以 x2 或 x3 是一元二次方程 2x210 x120 的两根 点拨精讲：要判定一个数是否是方程的根，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即可 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路(9 分钟) 1判断下列方程是否为一元二次方程 (1)1x20; (2)2(x21)3y； (3)2x23x10; (4)1x22x0； (5)(x3)2(x3)2; (6)9x254x. 解：(1)是；(2)不是；(3)是； (4)不是
7、；(5)不是；(6)是 2若 x2 是方程 ax24x50 的一个根，求 a 的值 解：x2 是方程 ax24x50 的一个根， 4a850， 解得 a34. 3根据下列问题，列出关于 x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式： (1)4 个完全相同的正方形的面积之和是 25，求正方形的边长 x； (2)一个长方形的长比宽多 2，面积是 100，求长方形的长 x. 解：(1)4x225，4x2250；(2)x(x2)100，x22x1000. 学生总结本堂课的收获与困惑(2 分钟) 1一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程 2一元二次方程的一般形式 ax2bxc0(a0)，特别
8、强调 a0. 3要会判断一个数是否是一元二次方程的根 学习至此，请使用本课时对应训练部分(10 分钟) 212 解一元二次方程 212.1 配方法(1) 1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程 2. 渗透转化思想，掌握一些转化的技能 重点：运用开平方法解形如(xm)2n(n0)的方程；领会降次转化的数学思想 难点：通过根据平方根的意义解形如 x2n(n0)的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如(xm)2n(n0)的方程 一、自学指导(10 分钟) 问题 1：一桶某种油漆可刷的面积为 1500 dm2，小李用这桶油漆恰好刷完 10 个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗
9、？ 设正方体的棱长为 x dm，则一个正方体的表面积为_6x2_dm2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程： _106x21500_， 由此可得_x225_， 根据平方根的意义，得 x_ 5_， 即 x1_5_，x2_5_ 可以验证_5_和5 都是方程的根， 但棱长不能为负值， 所以正方体的棱长为_5_dm. 探究：对照问题 1 解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x1)25 及方程 x26x94? 方程(2x1)25 左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为_2x1 5_，即将方程变为_2x1 5和_2x1 5_两个一元一次方程，从而得到方程(2x1)25 的两
10、个解为 x1_1 52，x2_1 52_ 在解上述方程的过程中， 实质上是把一个一元二次方程“降次”， 转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了 方程 x26x94 的左边是完全平方式， 这个方程可以化成(x_3_)24， 进行降次，得到 _x3 2_ ，方程的根为 x1 _1_，x2_5_. 归纳： 在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程 如果方程能化成 x2p(p0)或(mxn)2p(p0)的形式，那么可得 x p或 mxn p. 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视(6 分钟) 解下列方程： (1)2y28； (2)2(x8)250； (3)(
11、2x1)240; (4)4x24x10. 解：(1)2y28， (2)2(x8)250， y24， (x8)225， y 2， x8 5， y12，y22； x85 或 x85， x113，x23； (3)(2x1)240， (4)4x24x10， (2x1)2450)，每月销售这种篮球获利 y 元 (1)求 y 与 x 之间的函数关系式； (2)超市计划下月销售这种篮球获利 8000 元，又要吸引更多的顾客，那么这种篮球的售价为多少元？ 解：(1)y10 x21400 x40000(50 x0 时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点a 越大，抛物线的开口越小；当 a0 时，开口向上；a0
12、，即 m2，只能取 m2. 这个最低点为抛物线的顶点，其坐标为(0，0)，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大 (3)若函数有最大值，则抛物线开口向下，m20，即 m0 时，y 随 x 的增大而减小 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路(5 分钟) 1二次函数 yax2与 yax2的图象之间有何关系？ 2已知函数 yax2经过点(1，3) (1)求 a 的值； (2)当 xx20，则 y1与 y2的关系是_y1y2_ 4二次函数 yax2与一次函数 yax(a0)在同一坐标系中的图象大致是( B ) 点拨精讲：1.二次函数 yax2的图象的画法是列表、描点、连线
13、，列表时一般取 57个点，描点时可描出一侧的几个点，再根据对称性找出另一侧的几个点，连线将几个点用平滑的曲线顺次连接起来，抛物线的两端要无限延伸，要“出头” ； 2抛物线 yax2的开口大小与|a|有关，|a|越大，开口越小，|a|相等，则其形状相同 学生总结本堂课的收获与困惑(2 分钟) 学习至此，请使用本课时对应训练部分(10 分钟) 221.3 二次函数 ya(xh)2k 的图象和性质(1) 1会作函数 yax2和 yax2k 的图象，能比较它们的异同；理解 a，k 对二次函数图象的影响，能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标 2了解抛物线 yax2上下平移规律 重点：会作函数
14、的图象 难点：能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标 一、自学指导(10 分钟) 自学：自学课本 P3233“例 2”及两个思考，理解 yax2k 中 a，k 对二次函数图象的影响，完成填空 总结归纳：二次函数 yax2的图象是一条抛物线，其对称轴是 y 轴，顶点是(0，0)，开口方向由 a 的符号决定：当 a0 时，开口向上；当 a0 时，在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而增大抛物线有最_低_点，函数 y 有最_小_值当 a0 时，向_上_平移；当 k0 时，向_下_平移 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视(7 分钟)
15、 1在抛物线 yx22 上的一个点是( C ) A(4，4) B(1，4) C(2，2) D(0，4) 2抛物线 yx216 与 x 轴交于 B，C 两点，顶点为 A，则ABC 的面积为_64_ 点拨精讲：与 x 轴的交点的横坐标即当 y 等于 0 时 x 的值，即可求出两个交点的坐标 3画出二次函数 yx21，yx2，yx21 的图象，观察图象有哪些异同？ 点拨精讲：可从开口方向、对称轴、形状大小、顶点、位置去找 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果(5 分钟) 探究 1 抛物线 yax2与 yax2c 有什么关系？ 解：(1)抛物线 yax2c 的形状与 y
16、ax2的形状完全相同，只是位置不同； (2)抛物线 yax2向上平移 c 个单位得到抛物线 yax2c； 抛物线 yax2向下平移 c 个单位得到抛物线 yax2c. 探究 2 已知抛物线 yax2c 向下平移 2 个单位后，所得抛物线为 y2x24，试求 a，c 的值 解：根据题意，得a2，c24，解得a2，c6. 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路(13 分钟) 1函数 yax2a 与 yaxa(a0)在同一坐标系中的图象可能是( D ) 2二次函数的图象如图所示，则它的解析式为( B ) Ayx24 By34x23 Cy32(2x)2 Dy32(x22) 3二次函数 yx24 图象的对称轴是 y 轴，顶点坐标是(0，4)，当 x0 时，在对称轴的左侧 y 随 x 的增大而减小， 在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而增大， 抛物线有最低点，函数 y 有最小值；当 a0)；抛物线 yax2向右平移 h 个单位，即为抛物线 ya(xh)2(h0) 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视(7 分钟) 1教材 P35 练习题； 2抛物线 y1
