1、第六章 机械振动,前言：,振动和波是物理中的重要领域：,1）大量存在。（一般讲，小物体作急速振动；大物体振动较慢。）,2）是宇宙两大运动之一,无“序”运动；分子热运动、银河星系的运动；,有序运动；有规序的运动。其中一类就是周期运动，振动就是一种周期运动。,周期运动特点有周期和平衡位置：运动系统经过一周期时间以后又回到原来的状态；物体运动总是在一个特定位置附近往复进行。,弹簧振子,振荡电路,心房室压强,简谐振动：我们所要研究的x-t曲线，即位移时间曲线 是纯余弦曲线的振动，即余弦式振动。,611、弹簧振子的振动：,振子在弹性力和惯性两因素相互作用下在平衡位置附近往复运动。,设振子m在某一位置x,
2、由胡克定律和牛顿第二定律有：,解此微分方程：,A：振幅；,：初相位。,（由初始条件决定的待定常数。）,6-1-2 单摆,小球受的切向分力：,小球受的切向加速度：,根据牛顿第二定律,单摆的小角摆动是简谐振动,3、简谐振动的特点：（1）运动学特征：,a与x恒成正比且反相,x是t的余弦函数,（2）动力学特征：,要证明一个运动是简谐振动，可以从是否满足下面三个方程之一为依据。,二、简谐振动中的位移、速度和加速度：,1、,A振幅,速度振幅,加速度振幅,2、x-t曲线、v-t曲线和a-t曲线：,6-2 描述谐振动的三个物理量周期、振幅、初相作简谐振动的物体，其运动状态每经过一个相同的时间T就重复一次，时间
3、T就称为振动的周期。,振动学中把1秒内物体完成振动的次数称为频率。,把 秒内物体完成振动的次数称为角频率。,6.2.2 周期 频率和角频率,一个振动系统的周期、频率或圆频率决定于什么因素？,弹簧振子：,k为弹簧的倔强系数m为质点质量,6.2.3 相位：,1、定义：,相位（用角度表示）周期(用时间表示）T,2、特点：（1）一定的周相对应一个确定的运动状态。（2）一定的运动状态对应一定的周相。（3）周相差表示了两作同周期振动物体在同一时刻运动 状态的差异。,超前：,落后：,例（补）：判断以下说法是否正确？并说明理由。（1）质点作简谐振动时，从平衡位置运动到最远点需时1/4周期，因此走过该距离的一半
4、需时1/8周期。（2）如下图所示，看来x(t)曲线似乎在v(t)曲线的前方，即x(t)的极大值处于邻近v(t)极大值的右侧，故说位移x比速度v领先,（3）位移,两次对t求导可得加速度,二者括号中,是一样的，,故说x与a同相。,（2）不对。由x-t、v-t图比较x、v的位移时，应从t=0看起，如图所示，v的第一极大值在x的第一极大值左方，故，v比x领先,（3）不对。比较两个量的位相时，应都写成余弦（或正弦）函数，并使前面的系数同号。,6.2.4 振幅A、初位相 的确定：,振幅和初相的值是由初始条件决定的；,初始条件：t=0时的初位移X0、初速度,解之：,6.3 简谐振动的旋转矢量表示法：,确定振
5、动方程的三个量：,质点P任意时刻位置由,质点P在x轴上的投影作简谐振动：,旋转矢量法优点：形象化，尤其是使 相位和圆频率具体化,用一匀速转动的矢量来研究简谐振动的方法称旋转矢量法。其中轨迹圆称为参考圆。,用旋转矢量法确定初位相：,例补：一定滑轮的半径为R，质量为M，其上挂一轻绳绳的一端系一质量为m的物体，另一端与固定的轻弹簧相连，如图，设弹簧的倔强系数为k，绳与滑轮间无滑动，并忽略轴的摩擦力及空气阻力，现将物体从平衡位置拉下一微小距离，然后放手，从放手瞬间开始计时，并以平衡位置为坐标原点，OX向下为正向，求：（1）证明物体作简谐振动（2）写出振动方程,初始条件：,振动方程：,例补：已知一简谐振
6、动的位移曲线如图，写出振动方程。,由图得初位相,所以振动方程：,解(1),作相应的矢量图如图,，,则简谐运动方程为,6.4 简谐振子的能量：,动能：,势能：,系统机械能：,结论由弹簧振子可推广到一切简谐振动！,从简谐振动的机械能守恒推导建立简谐振动的微分方程：,求导,小结：（1）振动动能和振动势能均随时间作周期性变化，其数值在 之间重复变化。如果振动的周期为T，则 和 变化的周期为T/2。（2）振动动能、振动势能的变化并不同步，动能最大时势能为零，势能最大时，动能为零。（3）振动的总能量保持不变。,简谐振动的判据：,解：两个弹簧的等效弹簧的弹性系数为2k,粘上前系统的圆频率,粘上后系统的圆频率
7、,振动系统的周期,对系统来说，其水平方向上动量守恒，有,V是粘上前物体的速度,是粘上后的速度,通过谐振动的能量来求振幅,粘上前，振动系统的能量,粘上后，新振动系统的能量,6.5.1同（振动）方向、同频率的两个谐振动的合成,设两简谐振动均沿x轴进行，位移分别：,1、三角函数法,6.5简谐振动的合成,结论：两个同方向、同频率的谐振动合成后 仍为同频率 的谐振动,2、旋转矢量法,（2）A:,解：合振幅,初周相：,画出矢量图：,6.5.2同方向、不同频率的两个谐振动的合成,设两简谐振动均沿x轴进行，位移分别：,其中，,可见，位相差随时间变化，,讨论（特殊情况）：,即两分振动频率都较大，频率差较小,为突
8、出不同频率产生效果，设两分振动振幅相等，初位相均为零，即：,可见，合振动位移是以较高角频率 而变化;而合振动的振幅是以较低频率 变化，范围在,拍：由两个频率都较大而频率差又很小的同方向的简谐 振动合成时，产生合振幅时而加强时而减弱的周期 性变化现象。,一拍：合振幅变化的一个周期。,拍频：单位时间内拍出现的次数。,若振幅变化的周期为T拍,6.5.3互相垂直的同频率谐振动的合成,以上两式实为质点运动的运动方程，消去t即可得质点运动的轨迹方程。,轨迹方程简化为：,任意时刻位移：,可见，仍是简谐振动。,轨迹为一般椭圆,顺时针方向运动,逆时针方向运动,6.5.4相互垂直的不同频率简谐振动的合成,一、阻尼
9、振动,能量减小的原因：,1）磨擦阻力的存在,2）引起邻近质点振动，以波的形式向周围传播能量。,因能量耗散而衰减的振动称阻尼振动。又因能量与振幅平方成正比，又称减幅振动。,6.6 阻尼振动 受迫振动 共振,即：,阻尼振动微分方程,由初始条件决定,讨论：,其解：,C1、C2为由初始条件决定的常数。,C1、C2为由初始条件决定的常数。,二、受迫振动,定义：在驱动力作用下的振动称受迫振动。,即：,令：,解为：,第一项表示阻尼振动在足够长时间后就消失。于是受迫振动的稳态解：,受迫振动中能量的转换：（1）周期性驱动力对振动系统做功，使系统能量增加。（2）耗散力的阻尼作用而耗散能量，使系统能量减少。,三、共振,1、速度共振：当驱动力角频率 等于振动系统的固有频率 时,可知，相位滞后，即速度与驱动力相位相同，驱动力作正功，系统振动能量可达最大值，相应速度振幅 也可达极大值。,2、位移共振工程中常将振幅达极大值的现象称共振，称位移共振。,阻尼越小，越接近，在弱阻尼情况下，位移共振和速度共振无区别。,
