1、第十四章静定结构的位移计算,第一节结构位移 第二节变形体的虚功原理 第三节结构位移计算的一般公式 第四节图乘法计算静定结构的位移 第五节支座移动和温度改变时静定结构的位移计算 第六节弹性体系的互等定理,第一节结构位移,一、结构位移的概念 工程结构都是由变形固体组成的，在荷载、温度变化、支座移动、制造误差等因素影响下，尺寸和形状将发生改变，称为变形。结构变形后，截面的位置会发生变化，这个位置的变化称为结构的位移。结构的位移包括两种:截面移动和截面转动。截面移动即截面形心的移动，称为线位移;截面转动即轴线上该点处切线的方向变化，称为角位移。如图14-1(a)所示的刚架，在荷载作用下，结构产生变形如
2、图中虚线所示，截面的形心A点沿某一方向移到A点，线段AA称为A点的线位移，一般用符号A表示。它也可用竖向线位移AV和水平线位移AH两个位移分量来表示，如图14-1(b)所示。同时，此截面还转动了一个角度，称为该截面的角位移，用 表示。,下一页,返回,第一节结构位移,使结构产生位移的原因除厂荷载作用外，还有温度改变使材料膨胀或收缩、结构构件的尺寸在制造过程中发生误差、基础的沉陷或结构支座产生移动等因素，均会引起结构的位移。二、计算结构位移的目的 位移的计算是结构设计中经常会遇到的问题。计算位移的日的主要有两个。(1)校核结构的刚度，保证结构产生的位移不超过允许的限值。例如列车通过桥梁时，若桥梁的
3、挠度(竖向线位移)过大，会使线路不平稳，以致引起较大的冲击和振动，影响桥梁的正常使用。(2)为计算超静定结构打下基础。因为超静定结构的内力仅由静力平衡条件是不能全部确定的，还必须考虑变形条件，而建立变形条件时就需要计算结构的位移。,上一页,下一页,返回,第一节结构位移,此外，在结构的动力计算和稳定计算中也需要用到结构的位移;在结构的制作、施工、架设和养护过程中，也常常需要预先知道结构变形后的位置，以便采取一定的施工措施。应当指出，本章讨论的是线性弹性变形体系的位移计算。这种体系指的是位移与荷载之间为线性关系的体系，并且当荷载全部卸除后，位移即全部消失。具体来讲，也就是体系是几何不变的;其材料服
4、从胡克定律;其位移(变形)必须是微小的。对于这种体系，计算其位移时可以应用叠加原理。,上一页,返回,第二节变形体的虚功原理,一、基本概念(一)功、广义力和广义位移 由物理学可知，功与力和位移两个因素有关，功的大小等于力和位移的乘积，即:W=FP(14-1)式中FP-力或力偶，称为广义力;-与广义力相应的线位移或角位移，称为广义位移。如广义力是集中力时，广义位移为线位移，若广义力是力偶时，广义位移为转角。功可以为正，也可以为负，还可以为零。当FP与方向相同时，为正;反之则为负。若FP与方向相互垂直时，功为零。(二)实功与虚功 实功是指外力或内力在自身引起的位移上所做的功。如图14-2(a)所示简
5、支梁，设其在P1作用下达到平衡时，P1作用点沿P1方向上产生的位移为11。,下一页,返回,第二节变形体的虚功原理,这里11用了两个角标，第一个角标“1”代表位移发生的地点和方向，即此位移是P1作用点沿P1方向上的位移;第二个角标“1表示引起位移的原因，即此位移是由于P1作用而引起的。荷载P1在位移11上所做的功用W11表示，则 W11=0.5 P1 11(14-2)式(14-2)含系数“1/2是因为当荷载从零逐渐士曾大至。最后值P1时，由它引起的位移从零逐渐增大到最后值11，两者成线性函数关系。外力(或内力)在其他原因引起的位移上所做的功则称为虚功。如图14-2(b)，当第一组荷载P1作用于结
6、构达到稳定平衡后，再加上第二组荷载P2，这时结构将继续变形，而引起P1作用点沿P1方向产生新的位移12，因而P1将在12位移上做功，这时所做的功即为虚功。由于位移12由零增加至最终值的过程中，P1保持不变是常力，因此P1沿12做的功为:W12=P1 12(14-2),上一页,下一页,返回,第二节变形体的虚功原理,所谓虚功并非不存在的意思，“虚”字强调做功过程中位移与力相互独立且无关的特点。应该指出，当其他因素引起的位移与力的方向一致时虚功为正值，反之则为负值。而实功由于力自身所引起的相应位移总是与力的作用方向相一致，故总为正值。二、变形体的虚功原理 前面所讲到的简支梁，在力P1作用下会引起内力
7、，那么，内力在其本身引起的变形上所做的功，称为内力实功，用w11表示。P1所做的功W11称为外力实功。力P1作用下引起的内力在其他原因(比如P2)引起的变形上所做的功，称为内力虚功，用W12表示。P1所做的功W12称为外力虚功。在该系统中外力P1和P2所做的总功为:W外=W11+W12+W22(14-4)而P1和P2引起的内力所作的总功为:W内=W11+W12+W22(14-5),上一页,下一页,返回,第二节变形体的虚功原理,式(14-6)又称为虚功方程。具体而言，就是变形体上第一状态中的外力沿第二状态中的位移所做的外力虚功等于变形体上第一状态中的内力沿第二状态中的变形所做的内力虚功。这里，做
8、功的外力和内力称为力状态或第一状态，它们必须满足平衡条件;位移和变形称为位移状态或第二状态，它们必须满足变形和支座约束条件。两者是属于同一体系的两种彼此独立无关的状态。为了便于应用，现将图14-2(b)中的平衡状态分为图 14-3(a)和14-3(b)两个状态。图14-3(a)的平衡状态称为第一状态，图14-3(b)的平衡状态称为第二状态。此时虚功原理又可以描述为:第一状态上的外力和内力在第二状态相应的位移和变形上所做的外力虚功和内力虚功相等。这样第一状态也可以称为力状态，第二状态也可以称为位移状态。,上一页,下一页,返回,第二节变形体的虚功原理,必须指出，力状态和位移状态是同一体系的两种彼此
9、无关的状态，因此，不仅可以把位移状态看做是虚设的，也可以把力状态看做是虚设的，它们各有不同的应用。若取第一状态为实际状态，第二状态为虚拟状态，也就是虚功中力状态是实际的，位移状态是虚拟的，这时，虚功原理也称为虚位移原理;反之，若取第一状态为虚拟状态，第二状态为实际状态，也就是虚功中的力状态是虚拟的，位移状态是实际的，这时，虚功原理也称为虚力原理。计算结构位移时，需要用到的是虚力原理，不过习惯上仍称它为虚功原理，以下我们仍沿用这一称呼。虚功原理既适用于静定结构，也适用于超静定结构。,上一页,返回,第三节结构位移计算的一般公式,一、荷载作用下位移计算的一般公式 利用虚功原理推导结构在荷载作用下位移
10、计算的一般公式，首先要确定力状态和位移状态。如图14-4(a)所示，结构在荷载q作用下发生厂如图中虚线所示变形。下面来求结构上任一截面沿任一指定方向上的位移，如K截面的水平位移VK。由于所求为实际荷载q作用下结构的位移，故应以图14-4(a)为结构的位移状态(即实际状态)。为了建立虚功方程，需要人为地另建立一个虚拟的力状态，为此，在K点上作用一个水平的单位荷载PK=1，它应与K相对应，如图14-4(b)所示。虚拟状态中的外力所做虚功:W=PKK=K(14-7)式(14-7)说明，当PK=1时外力虚功在数值上恰好等于所要求的位移K。,下一页,返回,第三节结构位移计算的一般公式,为了计算虚拟状态中
11、的内力所做的虚功W，首先在图14-4(a)上取ds微段，其上由于实际荷载所产生的内力MP、QP、NP作用下所引起的相应变形为 分别如图14-4(c),(d),(c)所示，其计算式分别为:相对转角相对剪切位移相对轴向位移式中，K是与杆横截面形状有关的系数。对于矩形截面，K=6/5；对于圆形截面，K=32/27。,上一页,下一页,返回,第三节结构位移计算的一般公式,同样在图14-4(b)所示的虚拟状态中从结构的相应位置取微段(S 该微段两端所受内力为，如图14-4(f),(g)、(h)所示，其中已略去了内力的高阶微量。微段上虚内力在实际变形上所做内力虚功为:整根杆件的内力虚功可由积分求得为:当结构
12、由多根杆件组成时，可分别求得各杆段的虚功，再求总和就是结构内力虚功，即:由虑功原理得(14-8),上一页,下一页,返回,第三节结构位移计算的一般公式,式中右边第一、二、三项分别是弯矩、剪力、轴力所引起的位移。这就是变形体在荷载作用下位移计算的一般公式。它只要求结构处于平衡状态和变形微小两个条件。利用此式计算结构位移时，应根据结构的具体情况，只考虑其中一项或两项。例如对于梁、刚架应取第一项，对于析架应取第三项。这种用虚设单位荷载产生的内力，在实际状态荷载所引起的位移上做虚功，而利用虚功原理计算结构位移的方法，称为单位荷载法。单位荷载法计算位移公式适用于弹性材料和非弹性材料，可以用于计算静定结构的
13、位移，也可用于计算超静定结构的位移。二、静定结构在荷载作用下的位移计算 对梁或刚架等弯曲变形的结构，可以证明，轴力和剪力对结构位移的影响相对弯矩很小，在计算时可以忽略不计，因此对这类结构，位移计算公式可采用下述简化公式:,上一页,下一页,返回,第三节结构位移计算的一般公式,(14-9)而在析架中，只存在轴力，且同一杆件的轴力、NP及EA沿杆长l均为常数，因此位移计算可采用如下简化形式:(14-10)应特别强调的是:单位荷载必须根据所求位移而假设，亦即虚设单位荷载必须是与所求广义位移相应的广义力。例如图14-5(a)所示悬臂刚架，横梁上作用有竖向荷载q，当求此荷载作用下的不同位移时，其虚设单位荷
14、载有以下儿种不同情况:(1)欲求A点的水平线位移时，应在A点沿水平方向加一单位集中力，如图14-5(b)所示;(2)欲求A点的角位移，应在A点加一单位力偶，如图14-5(c)所示；,上一页,下一页,返回,第三节结构位移计算的一般公式,(3)欲求A,B两点的相对线位移(即A、B两点间相互靠拢或拉开的距离)，应在A、B两点沿AB连线方向加一对反向的单位集中力，如图14-5(d)所示;(4)欲求A、B两截面的相对角位移，应在A、B两截面处加一对反向的单位力偶，如图14-5(e)所示。利用单位荷载法计算结构位移的步骤是:(1)根据欲求位移选定相应的虚拟状态。(2)根据所要求的位移，虚设相应的单位荷载。
15、1)求结构某截面的线位移，就在该截面处沿位移方向虚设一单位集中力。2)求结构某截面的转角，就在该截面处加一单位力偶。,上一页,下一页,返回,第三节结构位移计算的一般公式,3)求结构某两点间的相对线位移，应在该两点处沿连线方向虚设一对方向相反的单位力。4)求结构两截面的相对转角，应在两截面处加一对转向相反的单位力偶。(3)列出结构各杆段在虚拟状态下和实际荷载作用下的内力方程。(4)将各内力方程分别代入位移计算公式，分段积分求总和即可计算出所求位移。,上一页,返回,第四节图乘法计算静定结构的位移,由前一节已经知道，计算弯曲变形引起的位移时，需要利用公式(14-11)如果结构杆件数目较多，荷载又较复
16、杂，计算上述积分就比较麻烦。图乘法是梁和刚架在荷载作用下位移计算的一种工程实用方法。在数学上该方法是积分式的一种简化，可避免列内力方程及解积分式的繁琐计算。一、图乘条件 计算梁或刚架的位移时，结构的各杆段若满足以下三个条件，就可以用图乘法来计算:杆轴为直线;El为常数;与MP两个弯矩图中至少有一个是直线图形。如图14-6所示，设结构上AB杆段为等截面直杆，EI为常数，图为一段直线，而MP图为任意形状。现以 图的基线为x轴，以M图的延长线与x轴的交点O为原点，建立xOy为坐标系，则,下一页,返回,第四节图乘法计算静定结构的位移,(14-12)式中 因随直线变化，故有:用dx代替ds，EI为常量，故式(14-12)可写成:(14-13)式中 为MP图中阴影线的微面积。故 是这个微面积 对y轴的一次矩。因而 为整个MP图的面积对y轴的一次矩。根据面积矩定里，它应等于MP图的面积 乘以其形心C到y轴的距离xC，即:,上一页,下一页,返回,第四节图乘法计算静定结构的位移,代入式(14-13)，则有:(14-14)但，这里yC为MP图的形心C处所对应的 图的竖标(纵坐标)，故(14-14)式又可写
