1、1,小结 思考题 作业,函数展开成幂级数,第四节 函数展开成幂级数,泰勒级数,第十一章 无穷级数,2,所以有了函数展开成的幂级数,那末函数的多项式逼近、函数值的近似计算,以及一些积分、微分方程问题就应刃而解了.,将函数展开为幂级数的形式,在理论上和应用中都是十分重要的.,如,对函数作数值分析时,总离不开多项式逼近给定的函数,而幂级数的部分和恰是多项式.,问:哪些函数在怎样的区间上可展开为幂级数?,幂级数的系数如何确定?,这是本节要讨论的主要问题.,3,一、泰勒级数,以f(x)为和函数,1.如果能展开,是什么?,2.展开式是否唯一?,3.在什么条件下才能展开成幂级数?,上节例题,存在幂级数在其收
2、敛域内,4,的某邻域内有n+1阶导数,则 f(x)可表为:,公式(1)是函数f(x)在x0处展开的泰勒公式,其中 介于x与x0之间.,回顾,Rn(x)是拉格朗日余项.,若函数f(x)在x0,第三章第三节泰勒公式:,(1),5,如函数f(x)在x0的某邻域内是,(2),称幂级数(2)为函数 f(x)在x0处的,f(x)是否可展为如下的幂级数:,自然会想到:,不管怎样,泰勒级数.,无穷次连续,可微的,6,显然,泰勒级数(2)在什么范围上,收敛于函数 f(x),特别,为函数 f(x)的,麦克劳林级数.,取决于在什么范围上有,当x0=0时,称幂级数,7,证,必要性,定理1,8,充分性,设,9,证,由于
3、幂级数在收敛区间内可逐项微分,定理2(函数幂级数展开的唯一性),于是,10,泰勒系数是唯一的,泰勒系数,所以,f(x)的展开式是唯一的.,11,问题,泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?,不一定.,可见,在x=0点任意可导,f(x)的麦氏级数处处不收敛于f(x).,?,12,1.直接展开法(泰勒级数法),(2)写出泰勒级数,并求收敛半径R.,如,二、函数展开成幂级数,则级数在收敛区间内收敛于f(x).,13,例,解,其收敛半径,因泰勒公式的余项,(介于0,x之间),它满足不等式,R=+.,14,对任一确定的,是处处收敛的幂级数 的一般项.,是确定的数,而,所以在 上恒有,有展开公式,于是,1
4、5,例,解,其收敛半径,对 内任一点x,有,R=+.,16,于是,有展开公式,17,例,解,18,所以 的泰勒级数的收敛区间是,对不同的,为了避免讨论余项的极限,设在区间,的泰勒级数和函数s(x),即设,下面证明,由逐项求导得,敛散性不同.,19,两边同乘以(1+x)后,注意右边方括号内的 xn 系数为,20,两边积分,得,牛顿二项式展开式,21,双阶乘,22,常见的展开式,23,将函数用直接展开法展开为幂级数,而且对许多函数来说求各阶导,与讨论拉格朗日型余项 Rn(x)趋于零的范围,下面介绍,计算工作量大.,一般,数,间接展开法.,都是困难的.,24,2.间接展开法,根据展开的唯一性,它与直
5、接展开法得到的结果是一致的.,利用常见展开式及等比级数的和等,通过,逐项求导,逐项积分,变量代换,四则运算,恒等,变形,等方法,求展开式.,25,例,(1)逐项求导,逐项积分法,展开为x的幂级数.,解,26,例,展开为x的幂级数.,解,而,27,例,将 展开为x的幂级数.,解,而,注,利用间接展开法时,要注意区间端点的收敛性.,28,有,有,29,1989年研究生考题,计算,6分,解,例,30,31,1994年研究生考题,计算,5分,解,由牛莱公式得,例,32,(2)变量代换法,例,将 展开为x的幂级数,并指出收敛区间.,解,作变量代换,33,例,将 展开为x的幂级数,并指出收敛区间.,解,将
6、 作下述变形,再利用变量代换,34,相当于,即,35,例,解,36,37,练习,解,展开区间,38,(3)四则运算,例,39,例,将 展为x的幂级数.,解,相乘得,40,例,将 展为x的幂级数.,解,逐项积分得,41,熟记下面函数的展开式,42,43,常用已知和函数的幂级数,44,例 求常数项级数 的和.,解,在x=1时对应的级数.,显然这个幂级数收敛域为,故先求此幂级数的和函数.,分析,这个常数项级数是幂级数,45,所以,46,练习,求常数项级数 的和.,法一,解,47,法二,逐项积分,故,当 x=1时，,得,分析,令 x=1,得,48,法三,令,上式两边求导得,令 x=1,得,分析,49,
7、将函数,展开为x的幂级数,并指出收敛区间.,解,端点无定义,练习,50,泰勒级数收敛于函数的充分必要条件,函数展开成泰勒级数的方法:,熟记6个基本的展开式,三、小结,函数幂级数展开的唯一性,间接展开法,51,思考题,答,函数f(x)在点x0处“有泰勒级数”与“能展开,成泰勒级数”这两种说法相同吗?试说明之.,这两种说法不同,分别叙述如下:,如果f(x)在点x0的某一邻域内具有各阶导数,那么级数,就称为f(x)在点x0处的泰勒级数.,如果f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶,(1),且f(x)在点x0处的泰勒级数(1)收敛于f(x),且,导数,在U(x0)内成立,52,思考题,函数f(
8、x)在点x0处“有泰勒级数”与“能展开,成泰勒级数”这两种说法相同吗?试说明之.,那么(1)就称为f(x)在点x0处的泰勒级数展开式,这时也说f(x)在点x0处能展开成泰勒级数.,由此可知,函数f(x)在点x0处“有泰勒级数”,与“能展开成泰勒级数”是两个不同的概念.,在点x0处有泰勒级数,f(x),(1),仅指x=x0时的泰勒级数收敛于f(x0),除了x=x0外,这级数是否收敛,如果收敛是否收敛于f(x)都是,未知的.,对应地,f(x)在点x0处能展开成泰勒级数,则说明f(x)在点x0的某一邻域内泰勒级数(1)不仅收敛而且,收敛于f(x).,53,作 业,习题11-4(223页),2.(2)(3)(4)(6)4.6.,
