1、2019-2020学年北大附中分校高一上学期期中数学试题2019020学年北京大学附中分校高1上学期期中数学试题 1、单选题 1（ ） A2 B4 C D 【答案】C 【解析】根据分数指数幂运算. 【详解】 . 故选：C 【点睛】 本题考核分数指数幂的运算法则，属于简单题型. 2已知：集合，则（ ） A B C D 【答案】A 【解析】首先求集合，然后求. 【详解】 即 ， . 故选：A 【点睛】 本题考核集合的运算，重点是解集合，属于简单题型. 3已知：且（ ） A1 B2 C D 【答案】A 【解析】首先求，再求. 【详解】 ，. 故选：A 【点睛】 本题考核分段函数求值，属于简单题型.
2、4已知函数，其值域是，则其定义域是（ ） A B C D 【答案】D 【解析】由于函数是1对1函数，所以根据值域解定义域，只需解不等式或. 【详解】 由于函数是1对1函数，所以可以根据值域解定义域， 由 ，解得， ， ， 定义域是：. 故选：D 【点睛】 本题考核根据值域求定义域，意在考核函数性质和解不等式，属于基础题型. 5以下函数：（1），（2），（3），（4），（5）5个函数中，是奇函数且值域不是1切实数R的函数是（ ） A（1），（3），（5） B（1），（4） C（4） D（1），（3） 【答案】C 【解析】逐1分析选项，根据函数性质得到选项. 【详解】 （1）是奇函数，值域是，不满
3、足条件； （2），满足，是偶函数，并且函数的值域是，不满足条件； （3），是奇函数，并且值域是，不满足条件； （4）是奇函数，并且值域是，满足条件. （5）定义域是，不关于原点对称，是非奇非偶函数，不满足条件； 故选：C 【点睛】 本题考核函数性质，意在考核函数的基础知识的理解，属于简单题型. 6以下函数在上单调递增的是（ ） A B C D 【答案】B 【解析】逐1分析选项，判断函数性质，得到答案. 【详解】 A.时，在单调递减，在上单调递增，故不正确； B.在单调递增，故正确； C.，在单调递减，故不正确； D.在单调递减，故不正确. 故选：B 【点睛】 本题考核函数的单调性，属于基础题型
4、. 7已知以下函数：（1），（2），（3），（4）中，是奇函数的是（ ） A（1），（2）（3），（4） B（2），（4） C（2），（3），（4） D（3），（4） 【答案】C 【解析】逐1分析函数，判断函数是不是是奇函数，得到选项. 【详解】 （1） ，定义域是，不关于原点对称，故不是奇函数； （2） 的定义域是，关于原点对称， 并且，故函数是奇函数； （3）的定义域是， 并且，故函数是奇函数； （4） 的定义域是，关于原点对称，并且函数满足 ，故函数是奇函数. 故选：C 【点睛】 本题考核判断函数的奇偶性，属于基础题型，判断函数的奇偶性，首先判断函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对
5、称，那函数就是非奇非偶函数，若函数关于原点对称，再根据定义域判断与的关系，若或则函数是奇函数，若满足或则函数是偶函数. 8已知，则函数的最小值是（ ） A1 B2 C4 D 【答案】B 【解析】根据基本不等式 求最小值. 【详解】 ， 当且仅当时，等号成立， 即时，函数的最小值是2. 故选：B 【点睛】 本题考核利用基本不等式求函数的最小值，属于简单题型. 9比较以下几个数的大小：，则有（ ） A B C D 【答案】D 【解析】首先让和0或1比较大小，然后再判断的大小. 【详解】 ， ， . 故选：D 【点睛】 本题考核指对数比较大小，意在考核转化与计算，属于简单题型. 10空气质量指数（简
6、称：）是定量描写空气质量状态的无量纲指数，空气质量依照大小分为6级：为优，为良，为轻度污染，为中度污染，为重度污染，为严重污染.下面记录了北京市天的空气质量指数，根据图表，以下结论毛病的是（ ） A在北京这天的空气质量中，按平均数来考察，最后天的空气质量优于最前面天的空气质量 B在北京这天的空气质量中，有天到达污染程度 C在北京这天的空气质量中，12月29日空气质量最好 D在北京这天的空气质量中，到达空气质量优的天数有天 【答案】C 【解析】分析：通过题目所提供的图表得出22个数据，研究在各区间上的数据个数，对选项逐1验证得到答案. 详解：由于， 所以在北京这天的空气质量中，按平均数来考察，
7、最后天的空气质量优于最前面天的空气质量， 即选项A正确； 不低于100的数据有3个：， 所以在北京这天的空气质量中，有天到达污染程度， 即选项B正确； 由于12月29日的为225，为重度污染， 该天的空气质量最差，即选项C毛病； 在的数据有6个：， 即到达空气质量优的天数有天， 即选项D正确.故选C. 点睛：本题考核频率散布表的辨认和利用，属于基础题，本题的技能是判定选项A时，仅从各数据的大小关系上进行判定，避免了没必要要的运算. 11函数的图象大致是（ ） A B C D 【答案】B 【解析】求导，求出函数的单调性，利用单调性来辨别函数的图像，和函数值符号来辨别函数的图像。 【详解】 ，.
8、解不等式，即，得； 解不等式，即，得或. 所以，函数的单调递增区间为和， 单调递减区间为。 令，即，得或； 令，即，得. 所以，符合条件的函数为B选项中的图像，故选：B. 【点睛】 本题考核利用函数解析式辨别函数的图像，1般从以下几个要夙来进行分析：定义域；奇偶性；单调性；零点；函数值符号。在考核函数的单调性时，可充分利用导数来处理，考核分析问题的能力，属于中等题。 12已知函数，则函数的零点（即的解）个数为（ ） A0个 B1个 C2个 D3个 【答案】C 【解析】，即的零点个数转化为函数和的图像的交点个数. 【详解】 ， 画出函数和的图像 由图像可知，两个函数有两个交点， 函数的零点个数有
9、2个. 故选：C 【点睛】 本题考核函数零点个数的判断，转化为求两个函数的交点是经常使用思考方法，属于基础题型. 2、填空题 13已知幂函数过点，则此函数的单调递减区间是_ 【答案】 【解析】代入点，求，再得函数的单调递减区间. 【详解】 ， 函数的单调递减区间是. 故答案是： 【点睛】 本题考核幂函数解析式的求法和函数性质，属于简单题型. 14若命题，使得，则_ 【答案】使得 【解析】根据特称命题的否命题的情势书写. 【详解】 命题，使得的否定是 使得. 故答案为：使得 【点睛】 本题考核特称命题的否定，属于基础知识的考核，属于简单题型. 15已知定义在上的偶函数，当时，则_ 【答案】6 【
10、解析】利用函数是偶函数，代入求值. 【详解】 是偶函数， . 故答案为：6 【点睛】 本题考核利用函数的奇偶性求值，意在考核转化与变形，属于简单题型. 16已知是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是_ 【答案】 【解析】若满足条件，需满足分段函数每段都是递增函数，并且在分界点处满足，列不等式组求的取值范围. 【详解】 是上的单调递增函数，需满足 ， 解得：. 故答案为： 【点睛】 本题考核根据分段函数单调性求参数，属于基础题型，容易疏忽的是分界点处的两个函数值比较大小的不等式，这点需切记. 3、解答题 17计算： （1） （2） 【答案】（1）； （2）4； 【解析】（1）根据根式和分数指
11、数幂的运算法则求解； （2）利用对数运算法则变形求解. 【详解】 解：（1）原式 （2）原式 【点睛】 本题考核根式，分数指数幂和对数的运算，意在考核转化与变形化简，属于基础题型. 18已知集合：， （1）用罗列法表示A和B，并求； （2）若，求实数a的取值范围 【答案】（1），； （2）； 【解析】（1）首先解方程和，求解集合和，然后求； （2）根据（1）的结果，若满足条件，需满足，即 求的范围. 【详解】 （1） 或， 又由于 解得 由 或 （2）， ，且 解得：或 【点睛】 本题考核解1元2次方程，和理解集合语言，根据集合的关系求参数的取值范围，属于基础题型. 19已知函数 （1）在座标
12、系内画出函数的大致图像； （2）若方程有两个根，求实数m的取值集合 （3）若方程有3个根，求实数m的取值集合 【答案】（1）图见解析； （2）； （3）； 【解析】（1）首先去绝对值，写成，然后画函数的图像； （2）根据（1）的图像，可知若方程有两个根，即与函数图像有两个交点，求的取值范围；（3）转化为与函数图像有3个交点，求的取值范围. 【详解】 解：（1）由，图象以下： （2）由于与x无关，故其图象是平行于x轴的直线，有两个实根，即与有两个交点，所以或，所以 （3）视察图象，当时，与有3个交点，这时候有3个根 【点睛】 本题考核函数图像的利用，根据函数零点个数求参数，可以参变分离后转化为的
13、零点个数，转化为和图像的交点个数求参数. 20亚洲某大国GDP的年平均增长率为6.5%，按此增长率发展，大约多少年后该国GDP会翻两番（即为原来的4倍）？（，结果精确到整数） 【答案】22年后 【解析】设大约x年后该国的GDP会翻两番，即，两边取以10为底的对数，求. 【详解】 解：设大约x年后该国的GDP会翻两番，依题意有： 即， 两边取10为底的对数： （保存整数位） 答：大约22年后该国GDP会翻两番 【点睛】 本题考核指数型函数的利用，意在考核概括，抽象，计算利用的能力，属于基础题型. 21如图，是边长为2的正3角形，记位于直线左边的图形的面积为，试求函数的解析式，并画出函数的图像.
14、【答案】,图像见解析. 【解析】分3种情况讨论，在求的解析式时,关键是要根据图像,对的取值进行恰当的分类,然后分类讨论,给出分段函数的解析式后,再根据解析式画出函数的图像. 【详解】 当时, 如图,设直线与分别交于C、D两点,则, 又 (2)当时, 如图,设直线与分别交于M、N两点,则, 又 (3)当时, 综上所述,图像如图， 【点睛】 本题主要考核分段函数的解析式、分段函数的图像，意在考核综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 22已知定义域是R上的奇函数 （1）求a； （2）判断在R上的单调性，并用定义法证明； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围； （4）设关于x方程
15、有零点，求实数b的取值范围 【答案】（1）； （2）在R上单调递增，证明见解析； （3）； （4）； 【解析】（1）根据奇函数的性质，求；（2）根据（1）的结论，变形为，利用单调性的的定义域证明；（3）函数是奇函数，不等式变形为，根据（2）可知，函数单调递增，所以恒成立，利用参变分离得恒成立，求的取值范围；（4）由于函数是奇函数，所以，所以，即：有零点，设，转化为求函数的值域. 【详解】 （1）由于是R上的奇函数，所以，即：，经检验，满足，所以 （2） 在R上单调递增，以下证明： 对，且 由的单调递增性知 又， 在R上单调递增 （3）由题意，对， 又 又由（2）知：在R上单调递增 令，易知其最小值是 ，即 （4）由题意知：有零点 即： 在R上单调 即：有零点 令： 有零点 即：函数与函数有交点 易知：有最小值 时，有零点 【点睛】 本题考核指数型函数性质的判断，抽象不等式恒成立和根据零点求参数取值范围，不论是恒成立求参数，或根据零点求参数，都可以采取参变分离的方法，转化为求函数最值，或求值域的问题.
