1、高等数学(二)命题预测试卷(二)一、 选择题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分。在每个小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内)1下列函数中,当时,与无穷小量相比是高阶无穷小的是( )A BC D2曲线在内是( )A处处单调减小 B处处单调增加C具有最大值 D具有最小值3设是可导函数,且,则为( )A1 B0C2 D4若,则为( )A BC1 D5设等于( )A BC D二、 填空题:本大题共10个小题,10个空,每空4分,共40分,把答案填在题中横线上。6设,则= 7设,则 8,则 9设二重积分的积分区域D是,则 10= 11函数的极小值点为 12若
2、,则 13曲线在横坐标为1点处的切线方程为 14函数在处的导数值为 15 三、解答题:本大题共13小题,共90分,解答应写出推理、演算步骤。16(本题满分6分)求函数的间断点17(本题满分6分)计算18(本题满分6分)计算19(本题满分6分)设函数,求20(本题满分6分)求函数的二阶导数21(本题满分6分)求曲线的极值点22(本题满分6分)计算23(本题满分6分)若的一个原函数为,求24(本题满分6分)已知,求常数的值25(本题满分6分)求函数的极值26(本题满分10分)求,其中D是由曲线与所围成的平面区域27(本题满分10分)设,且常数,求证:28(本题满分10分)求函数的单调区间、极值、此
3、函数曲线的凹凸区间、拐点以及渐近线并作出函数的图形参考答案一、 选择题1B 2B 3D 4D 5D二、填空题6 78 910 11125 1314 150三、解答题16解 这是一个分段函数,在点的左极限和右极限都存在 故当时,的极限不存在,点是的第一类间断点17解 原式=18解 设 由于是初等函数的可去间断点, 故 19解 首先在时,分别求出函数各表达式的导数,即 当时, 当时, 然后分别求出在处函数的左导数和右导数,即 从而,函数在处不可导 所以20解 又由解得 代入得 21解 先出求的一阶导数: 令 即 解得驻点为 再求出的二阶导数 当时,故是极小值 当时,在内,在内 故 不是极值点 总之
4、 曲线只有极小值点22解 23解 由题设知 故 24解 又 故 解得25解 解方程组得驻点 又 对于驻点,故 驻点不是极值点 对于驻点 故 ,又 函数在点取得极大值 26解 由与得两曲线的交点为与 的反函数为 27证 于是28解 (1)先求函数的定义域为 (2)求和驻点:,令得驻点 (3)由的符号确定函数的单调增减区间及极值 当时,所以单调增加; 当时,所以单调减少 由极值的第一充分条件可知为极大值 (4)求并确定的符号: ,令得 当时,曲线为凸的; 当时,曲线为凹的 根据拐点的充分条件可知点为拐点这里的和的计算是本题的关键,读者在计算时一定要认真、仔细。另外建议读者用列表法来分析求解更为简捷,现列表如下:00 就表上所给的和符号,可得到: 函数的单调增加区间为; 函数的单调减少区间为; 函数的极大值为; 函数的凸区间为; 函数的凹区间为; 函数的拐点为 (5)因为, 所以曲线有 水平渐近线 铅垂渐近线 (6)根据上述的函数特性作出函数图形如下图