1、第2课时简单线性规划的应用【题型探究题型探究】类型一型一 实际问题中的最小中的最小值问题【典例典例】1.1.铁矿石石A A和和B B的含的含铁率率a a，冶，冶炼每万吨每万吨铁矿石石的的COCO2 2的排放量的排放量b b及每万吨及每万吨铁矿石的价格石的价格c c如下表：如下表：某冶某冶炼厂至少要生厂至少要生产1.91.9万吨万吨铁，若要求，若要求COCO2 2的排放量的排放量不超不超过2 2万吨，万吨，则购买铁矿石的最少石的最少费用用为_百百万元万元. .a ab(b(万吨万吨) )c(c(百万元百万元) )A A50%50%1 13 3B B70%70%0.50.56 62.2.某公司租某
2、公司租赁甲、乙两种甲、乙两种设备生生产A A，B B两两类产品，甲品，甲种种设备每天能生每天能生产A A类产品品5 5件和件和B B类产品品1010件，乙种件，乙种设备每天能生每天能生产A A类产品品6 6件和件和B B类产品品2020件件. .已知已知设备甲甲每天的租每天的租赁费为200200元，元，设备乙每天的租乙每天的租赁费为300300元元. .现该公司至少要生公司至少要生产A A类产品品5050件，件，B B类产品品140140件，所件，所需租需租赁费最少最少为多少元？多少元？【解解题探究探究】1.1.典例典例1 1中体中体现不等关系的关不等关系的关键词有哪些有哪些？提示：提示：“至
3、少要生产至少要生产1.91.9万吨铁万吨铁”中的中的“至少至少”；“COCO2 2的的排放量不超过排放量不超过2 2万吨万吨”中的中的“不超过不超过”；“购买铁矿石的最购买铁矿石的最少费用少费用”中的中的“最少最少”. .2.2.典例典例2 2中的条件中的条件较多，如何把多，如何把约束条件准确地列出来？束条件准确地列出来？提示：提示：把相应的条件分类、分条目，放入到一个表格中，把相应的条件分类、分条目，放入到一个表格中，直观体现直观体现. .A A类类( (件件) )B B类类( (件件) )费用费用( (元元) )甲设备甲设备( (台台) )5 51010200200乙设备乙设备( (台台)
4、 )6 62020300300产品量产品量( (件件) )5050140140【解析解析】1.1.可设需购买可设需购买A A铁矿石铁矿石x x万吨，万吨，B B铁矿石铁矿石y y万吨，万吨，则根据题意得到约束条件为则根据题意得到约束条件为目标函数为目标函数为z=3x+6yz=3x+6y，画出不等式组表，画出不等式组表示的平面区域如图示的平面区域如图. .当目标函数经过点当目标函数经过点(1(1，2)2)时目标函数时目标函数取最小值，最小值为取最小值，最小值为z zminmin=3=31+61+62=15.2=15.答案：答案：15152.2.租赁甲、乙两种设备生产租赁甲、乙两种设备生产A A，
5、B B两类产品情况如下表：两类产品情况如下表：A A类产品类产品( (件件) )B B类产品类产品( (件件) )租赁费租赁费( (元元) )甲设备甲设备( (台台) )5 51010200200乙设备乙设备( (台台) )6 62020300300产品量产品量( (件件) )5050140140设租赁甲设备设租赁甲设备x x台，乙设备台，乙设备y y台，租赁费为台，租赁费为z z元，元，根据题意得根据题意得z=200 x+300yz=200 x+300y，作出可行域如图作出可行域如图( (阴影部分的整数点阴影部分的整数点) )所示：所示：作直线作直线l0 0：2x+3y=02x+3y=0，平
6、移该直线，平移该直线l0 0，过，过A A时时z z取最小值，取最小值，由由 得得A(4A(4，5)5)，符合实际意义，符合实际意义，则则z zminmin=4=4200+5200+5300=2300(300=2300(元元).).答：所需租赁费最少为答：所需租赁费最少为23002300元元. .【方法技巧方法技巧】有关成本最低，有关成本最低，费用最少用最少问题的解的解题技技巧巧(1)(1)最最优解的常解的常见位置：位置：线性目性目标函数的最大函数的最大值、最小、最小值一般在可行域的一般在可行域的顶点点处取得取得. .线性目性目标函数的最大函数的最大值、最小最小值也可能在可行域的也可能在可行域
7、的边界上取得，即界上取得，即满足条件的足条件的最最优解有无数多个解有无数多个. .(2)(2)四舍五入：在解决四舍五入：在解决实际问题时，若最，若最优解要求解要求满足足一定的精确度，一定的精确度，则要注意不可随意将所求要注意不可随意将所求结果果进行四行四舍五入，否舍五入，否则有可能使近似有可能使近似值对应点超出可行域，而点超出可行域，而导致所求解无意致所求解无意义. .【拓展延伸拓展延伸】解答解答线性性规划划应用用题的技巧的技巧(1)(1)在在线性性规划划问题的的应用中，常常是用中，常常是题中的条件中的条件较多，多，因此因此认真真审题非常重要非常重要. .(2)(2)线性性约束条件中有无等号要
8、依据条件加以判断束条件中有无等号要依据条件加以判断. .(3)(3)结合合实际问题，分析未知数，分析未知数x x，y y等是否有限制，如等是否有限制，如x x，y y为正整数、非正整数、非负数等数等. .(4)(4)分清分清线性性约束条件和束条件和线性目性目标函数，函数，线性性约束条件束条件一般是不等式，而一般是不等式，而线性目性目标函数却是一个等式函数却是一个等式. .【变式式训练】某汽某汽车公司有两家装配厂，生公司有两家装配厂，生产甲、乙甲、乙两种不同型的汽两种不同型的汽车，若，若A A厂每小厂每小时可完成可完成1 1辆甲型甲型车和和2 2辆乙型乙型车；B B厂每小厂每小时可完成可完成3
9、3辆甲型甲型车和和1 1辆乙型乙型车. .今欲制造今欲制造4040辆甲型甲型车和和4040辆乙型乙型车，问这两家工厂各两家工厂各工作几小工作几小时，才能使所用的，才能使所用的总工作工作时数最少数最少. .【解析解析】设设A A厂工作厂工作x x小时，小时，B B厂工作厂工作y y小时，总工作时小时，总工作时数为数为T T小时，则它的目标函数为小时，则它的目标函数为T=x+yT=x+y且且可行域如图可行域如图. .由图知当直线由图知当直线l：y=-x+Ty=-x+T过过Q Q点时，纵截距点时，纵截距T T最小，最小，解方程组解方程组 得得Q(16Q(16，8)8)，答：答：A A厂工作厂工作16
10、16小时，小时，B B厂工作厂工作8 8小时，可使所用的总工小时，可使所用的总工作时数最少作时数最少. .类型二型二 实际问题中的最大中的最大值问题【典例典例】1.(20151.(2015陕西高考西高考) )某企某企业生生产甲、乙两种甲、乙两种产品均需用品均需用A A，B B两种原料，已知生两种原料，已知生产1 1吨每种吨每种产品需原品需原料及每天原料的可用限料及每天原料的可用限额如表所示，如果生如表所示，如果生产1 1吨甲、吨甲、乙乙产品可品可获利利润分分别为3 3万元、万元、4 4万元，万元，则该企企业每天每天可可获得最大利得最大利润为( () )A.12A.12万元万元B.16B.16万
11、元万元C.17C.17万元万元D.18D.18万元万元甲甲乙乙原料限原料限额A(A(吨吨) )3 32 21212B(B(吨吨) )1 12 28 82.2.某研究所某研究所计划利用划利用“神舟十号神舟十号”宇宙宇宙飞船船进行新行新产品品搭搭载实验，计划搭划搭载新新产品品A A，B B，要根据，要根据该产品的研品的研制成本、制成本、产品品质量、搭量、搭载实验费用和用和预计产生收益来生收益来决定具体安排，通决定具体安排，通过调查，有关数据如表：，有关数据如表：产品品A(A(件件) )产品品B(B(件件) )研制成本与搭研制成本与搭载实验费用之和用之和( (万元万元/ /件件) )20203030
12、计划最大划最大资金金额300300万元万元产品品质量量( (千克千克/ /件件) )10105 5最大搭最大搭载质量量110110千克千克预计收益收益( (万元万元/ /件件) )80806060试问：如何安排：如何安排这两种两种产品的件数品的件数进行搭行搭载，才能使，才能使总预计收益达到最大？收益达到最大？【解解题探究探究】1.1.典例典例1 1中中应按照怎按照怎样的思路求出最大利的思路求出最大利润？提示：提示：设每天生产甲、乙两种产品分别为设每天生产甲、乙两种产品分别为x x吨，吨，y y吨，吨，利润为利润为z z万元，然后根据题目条件建立约束条件，得到万元，然后根据题目条件建立约束条件，
13、得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出移法求出z z的最大值的最大值. .2.2.典例典例2 2中如何根据表格分析中如何根据表格分析约束条件和目束条件和目标函数？函数？提示：提示：在表格横行观察第一行得到研制新产品在表格横行观察第一行得到研制新产品A A，B B所所需费用的资金限制条件；第二行得到研制新产品需费用的资金限制条件；第二行得到研制新产品A A，B B搭载质量的限制条件；第三行通过收益得目标函数搭载质量的限制条件；第三行通过收益得目标函数. .【解析解析】1.1.选选D.D.设每天生产甲、乙两种产品分别为设每天生产甲、
14、乙两种产品分别为x x吨，吨，y y吨，利润为吨，利润为z z万元，则万元，则 目标函数为目标函数为z=3x+4y.z=3x+4y.作出二元一次不等式组所表示的作出二元一次不等式组所表示的平面区域平面区域( (阴影部分阴影部分) )即可行域即可行域. .由由z=3x+4yz=3x+4y得得y= y= 平移直线平移直线y= y= 由图象可知当直线由图象可知当直线y= y= 经过经过点点A A时，直线时，直线y= y= 在在y y轴上的截距最大，此时轴上的截距最大，此时z z最大，最大，解方程组解方程组 即即A A的坐标为的坐标为(2(2，3)3)，所以所以z zmaxmax=3x+4y=6+12
15、=18.=3x+4y=6+12=18.即每天生产甲、乙两种产品分别为即每天生产甲、乙两种产品分别为2 2吨，吨，3 3吨，能够产吨，能够产生最大的利润，最大的利润是生最大的利润，最大的利润是1818万元万元. .2.2.设搭载产品设搭载产品AxAx件，产品件，产品ByBy件，预计总收益件，预计总收益z=80 x+60y.z=80 x+60y.作出可行域，如图作出可行域，如图. .作出直线作出直线l0 0：4x+3y=04x+3y=0并平移，并平移，由图象得，当直线经过由图象得，当直线经过M M点时点时z z能取得最大值，能取得最大值， 即即M(9M(9，4)4)，即搭载产品即搭载产品A9A9件
16、，产品件，产品B4B4件，可使得总预计收益最大件，可使得总预计收益最大. .【延伸探究延伸探究】1.(1.(改改变问法法) )典例典例1 1中的所有条件不中的所有条件不变，则每天生每天生产甲、甲、乙两种乙两种产品的吨数分品的吨数分别是多少是多少时，该企企业每天可每天可获得得最大利最大利润，并求此最大利，并求此最大利润. .【解析解析】设每天生产甲、乙两种产品分别为设每天生产甲、乙两种产品分别为x x吨，吨，y y吨，吨，利润为利润为z z万元，万元，则则目标函数为目标函数为z=3x+4y.z=3x+4y.作出二元一次不等式组所表示的平面区域作出二元一次不等式组所表示的平面区域( (阴影部分阴影部分) )即可行域即可行域. .由由z=3x+4yz=3x+4y得得y= y= 平移直线平移直线y= y= 由图象可知当直线由图象可知当直线y= y= 经过经过点点A A时，直线时，直线y= y= 在在y y轴上的截距最大，此时轴上的截距最大，此时z z最大，最大，解方程组解方程组 即即A A的坐标为的坐标为(2(2，3)3)，故每天生产甲、乙两种产品分别为，故每天生产甲、乙两种产品分别为2 2吨
