1、课时训练(十三)二次函数的图象与性质(二)(限时:60分钟)|夯实基础|1.图K13-1是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,且过点A(3,0),二次函数图象的对称轴是直线x=1,下列结论正确的是()图K13-1A.b20C.2a-b=0D.a-b+c=02.2019凉山州二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图K13-2,有以下结论:3a-b=0;b2-4ac0;5a-2b+c0;4b+3c0.其中错误结论的个数是()图K13-2A.1B.2C.3D.43.2017苏州若二次函数y=ax2+1的图象经过点(-2,0),则关于x的方程a(x-2)2+1=0的实数根为()A.x1=0,x
2、2=4B.x1=-2,x2=6C.x1=32,x2=52D.x1=-4,x2=04.已知m0,关于x的一元二次方程(x+1)(x-2)-m=0的解为x1,x2(x1x2),则下列结论正确的是()A.x1-12x2B.-1x12x2C.-1x1x22D.x1-1x20;3a+c0;当x0时,y随x的增大而增大;一元二次方程cx2+bx+a=0的两根分别为x1=-13,x2=12;b2-4ac4a0;若m,n(mn)为方程a(x+3)(x-2)+3=0的两个根,则m2.其中正确的结论有()图K13-3A.3个B.4个C.5个D.6个6.2018大庆如图K13-4,二次函数y=ax2+bx+c的图象
3、经过点A(-1,0),点B(3,0),点C(4,y1),若点D(x2,y2)是抛物线上任意一点,有下列结论:二次函数y=ax2+bx+c的最小值为-4a;若-1x24,则0y25a;若y2y1,则x24;一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根为-1和13.其中正确结论的个数是()图K13-4A.1B.2C.3D.47.2018湖州在平面直角坐标系xOy中,已知点M,N的坐标分别为(-1,2),(2,1),若抛物线y=ax2-x+2(a0)与线段MN有两个不同的交点,则a的取值范围是()A.a-1或14a13B.14a13D.a-1或a148.2019贺州已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)
4、的对称轴是直线x=1,其部分图象如图K13-5,下列说法中:abc0;a-b+c0;3a+c=0;当-1x0.正确的是(填写序号).图K13-59.已知二次函数y=x2-4x+k的图象的顶点在x轴下方,则实数k的取值范围是.10.2019镇江已知抛物线y=ax2+4ax+4a+1(a0)过点A(m,3),B(n,3)两点,若线段AB的长不大于4,则代数式a2+a+1的最小值是.11.2017常州已知二次函数y=ax2+bx-3自变量x的部分取值和对应的函数值y如下表,则在实数范围内能使得y-50成立的x的取值范围是.x-2-10123y50-3-4-3012.已知a,b,c为实数,点A(a+1
5、,b),B(a+2,c)在二次函数y=x2-2ax+3的图象上,则b,c的大小关系是bc.(用“”或“”填空)13.2019云南已知k是常数,抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴,并且与x轴有两个交点.(1)求k的值;(2)若点P在抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k上,且P到y轴的距离是2,求点P的坐标.|拓展提升|14.2019仙桃如图K13-6,在平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点坐标分别为O(0,0),A(12,0),B(8,6),C(0,6).动点P从点O出发,以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动;动点Q从点B同时出发,以每秒2个单位长度的速度沿边B
6、C向终点C运动.设运动的时间为t秒,PQ2=y.(1)直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围:.(2)当PQ=35时,求t的值.(3)连接OB交PQ于点D,若双曲线y=kx(k0)经过点D,问k的值是否变化?若不变化,请求出k的值;若变化,请说明理由.图K13-615.2019临沂在平面直角坐标系中,直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=ax2+bx+c(a0)经过点A,B.(1)求a,b满足的关系式及c的值;(2)当x0时,若y=ax2+bx+c(a0,结论正确.根据结论可知b=3a,所以5a-2b+c=5a-6a+c=-a+c,观察图象可知a0,所以5a-2b+c=-
7、a+c0,结论正确.根据抛物线的轴对称性可知抛物线与x轴的右交点在原点与(1,0)之间(不含这两点),所以当x=1时,y=a+b+c0.因为a=13b,所以43b+c0,所以4b+3c0时,就是抛物线位于x轴上方的部分,此时x2.又x1x2,x12.x1-12x2.故选A.5.C解析由图象可知a0,b0,abc0,正确.对称轴是直线x=-12,a=b.图象与x轴的一个交点是(-3,0),另一个交点坐标是(2,0),把(2,0)代入解析式可得4a+2b+c=0,6a+c=0,3a+c=-3a.a0,3a+c0,故正确.由图象可知,当-12x0时,y随x的增大而减小,当x0,b2-4ac4a0正确
8、;若m,n(mn)为方程a(x+3)(x-2)+3=0的两个根,则a(x+3)(x-2)=-3,由图象可知,当y=-3时,方程的两根为m,n,且m2,正确.综上,正确的有5个.故选C.6.B解析代入A点坐标得到0=a-b+c,顶点的横坐标为1,所以-b2a=1,整理得b+c=-5a,所以最小值为a+b+c=a+(-5a)=-4a,正确;当-1x24时,最低点为顶点,所以y的最小值为-4a,所以错误;y2y1说明D点在C点的上方,这有两种情况,所以错误;将方程的两个根代入后得到0=a-b+c,0=9a+3b+c,所以正确.7.A解析分a0和a0两种情况讨论.原二次函数必经过点(0,2),且对称轴
9、是直线x=12a.当a0时,如图,对称轴在y轴右侧,要保证抛物线和线段有两个交点,需要联立抛物线和直线的解析式,让判别式大于0,且抛物线上横坐标是2的点在点N的上方或经过点N.设一次函数的解析式为y=kx+b,将M(-1,2)和N(2,1)代入得2=-k+b,1=2k+b,解得k=-13,b=53.y=-13x+53.令ax2-x+2=-13x+53,则3ax2-2x+1=0.判别式为4-43a10.解得a13.当x=2时,代入抛物线解析式得y=4a-2+2=4a.令y1,则有4a1.a14.a的取值范围是14a13.综上所述,a的取值范围是a-1或14a13.故选A.8.解析根据图象可得a0
10、,对称轴为直线x=-b2a=1,b=-2a,b0,abc0,故正确.把x=-1代入函数关系式y=ax2+bx+c中得y=a-b+c.由抛物线的对称轴是直线x=1,且过点(3,0),可得当x=-1时,y=0,a-b+c=0,故错误.b=-2a,a-(-2a)+c=0,即3a+c=0,故正确.由图可以直接得出正确.故答案为.9.k0,对称轴为直线x=-2,线段AB的长不大于4,4a+13,a12,a2+a+1的最小值为122+12+1=74.11.x4解析由表中自变量x与对应的函数值y可以知道,二次函数y=ax2+bx-3图象的顶点坐标为(1,-4),抛物线开口向上,当x=4或-2时,y=5,能使
11、y-50成立的x的取值范围是x4.12.13.解:(1)抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴,x=-k2+k-62=0,即k2+k-6=0,解得k=-3或k=2.当k=2时,抛物线的解析式为y=x2+6,与x轴无交点,不满足题意,舍去;当k=-3时,抛物线的解析式为y=x2-9,与x轴有两个交点,满足题意,k=-3.(2)点P到y轴的距离为2,点P的横坐标为-2或2.当x=2时,y=-5;当x=-2时,y=-5.点P的坐标为(2,-5)或(-2,-5).14.解:(1)y=25t2-80t+100(0t4)解析易得BCx轴.过Q点作QDOA,垂足为D,四边形CODQ为矩形,QD=OC=6.当运动时间为t秒时,P(3t,0),Q(8-2t,6),D(8-2t,0),PD=|8-2t-3t|=|8-5t|.在RtPQD中,PQ 2=QD 2+PD 2,y=|8-5t|2+36=25t2-80t+100(0t4). (2)PQ=35,即y=PQ2=45,(8-5t)2+36=45,解得t1=1,t2=115.(3)不变.QB=2t,OP=3t,OPQB=32.QBOP,ODDB=OPQB=32,OB的长度是定值,D的位置不变.B(8
