1、2.2等差数列第1课时等差数列1.1.理解等差数列的定义理解等差数列的定义. .2.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题决一些简单的问题. .3.3.掌握等差中项的概念并能运用掌握等差中项的概念并能运用. .1.1.等差数列等差数列(1)(1)定义：一般地，如果一个数列从第定义：一般地，如果一个数列从第2 2项起，每一项与它的项起，每一项与它的前一项的差等于前一项的差等于_，那么这个数列就叫做等差数列，那么这个数列就叫做等差数列. .(2)(2)公差：这个公差：这个_叫做等差数列的公差，通常用字母叫做等差数
2、列的公差，通常用字母_表示表示. .(3)(3)通项公式：通项公式：a an n=_.=_.2.2.等差中项等差中项若三个数若三个数a a，A A，b b构成等差数列，则构成等差数列，则A A叫做叫做a a，b b的等差中项，的等差中项，并且并且A=_.A=_.同一个常数同一个常数常数常数d da a1 1+(n-1)d+(n-1)d1.1.已知等差数列已知等差数列aan n 的通项公式为的通项公式为a an n=2n-1=2n-1，则它的公差为，则它的公差为( () )A.2A.2B.-2B.-2C.3C.3D.-3D.-3【解析解析】选选A.d=aA.d=an n-a-an-1n-1=(2
3、n-1)-2(n-1)-1=2.=(2n-1)-2(n-1)-1=2.2.2.已知已知a=1a=1，b=3b=3，则，则a a，b b的等差中项为的等差中项为( () )A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.4【解析解析】选选B. B. 3.3.已知等差数列已知等差数列aan n 的通项公式为的通项公式为a an n=3-2n=3-2n，则，则a a1 1+a+a2 2= =. .【解析解析】因为因为a an n=3-2n=3-2n，所以，所以a a1 1=3-2=1=3-2=1，a a2 2=3-2=3-22=-12=-1，故，故a a1 1+a+a2 2=0.=0.答案：答案：0
4、04.4.等差数列等差数列1 1，-1-1，-3-3，-5-5，-89-89的项数为的项数为. .【解析解析】因为因为a a1 1=1=1，d=-1-1=-2d=-1-1=-2，所以，所以a an n=a=a1 1+(n-1)d=-2n+3.+(n-1)d=-2n+3.由由-2n+3=-89-2n+3=-89，得，得n=46.n=46.答案：答案：4646一、等差数列的概念一、等差数列的概念观察下列几个实例，探究以下问题观察下列几个实例，探究以下问题(1)2(1)2，4 4，6 6，8 8，1010，1212，(2)1(2)1，1 1，1 1，1 1，1 1，1 1，(3)1(3)1，3 3，
5、5 5，7 7，9 9，1111，探究探究1 1：请观察：请观察(1)(1)(3)(3)中的数列，它们中的每个数列从第二中的数列，它们中的每个数列从第二项起每一项与前一项的差是否都相等？项起每一项与前一项的差是否都相等？提示：提示：观察这三个实例可以看出，观察这三个实例可以看出，(1)(3)(1)(3)中的差都是中的差都是2 2，(2)(2)中中的差是的差是0.0.因此上述几个数列从第二项起每一项与前一项的差都因此上述几个数列从第二项起每一项与前一项的差都相等相等. .探究探究2 2：在探究：在探究1 1的基础上，你能用数学符号表示它们之间的关的基础上，你能用数学符号表示它们之间的关系吗？系吗
6、？提示：提示：可表示为可表示为a an+1n+1-a-an n=d(d=d(d为常数，为常数，n nN N* *).).探究探究3 3：根据等差数列的定义，思考是否所有的常数列都是等：根据等差数列的定义，思考是否所有的常数列都是等差数列？差数列？提示：提示：是，根据等差数列的特点知，所有的常数列都是等差数是，根据等差数列的特点知，所有的常数列都是等差数列列. .【探究总结探究总结】理解等差数列定义时的三个注意点理解等差数列定义时的三个注意点(1)(1)注意定义中注意定义中“从第从第2 2项起项起”这一前提条件这一前提条件. .这一条件有两层这一条件有两层意义，其一，第一项前面没有项，无法与后续
7、条件中意义，其一，第一项前面没有项，无法与后续条件中“与前一与前一项的差项的差”相吻合；其二，必须从第相吻合；其二，必须从第2 2项起保证使数列中各项均项起保证使数列中各项均与其前面一项作差与其前面一项作差. .(2)(2)注意定义中注意定义中“每一项与它的前一项的差每一项与它的前一项的差”这一运算要求，这一运算要求，它的含义也有两个，其一是强调作差的顺序，即后面的项减前它的含义也有两个，其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻面的项；其二是强调这两项必须相邻. .(3)(3)注意定义中的注意定义中的“同一个常数同一个常数”这一点可理解为每一项与前这一点可理解为每一
8、项与前面一项的差是常数且是同一个常数面一项的差是常数且是同一个常数. .二、等差数列的通项公式及等差中项二、等差数列的通项公式及等差中项结合等差数列的通项公式结合等差数列的通项公式a an n=a=a1 1+(n-1)d+(n-1)d，探究下列问题：，探究下列问题：探究探究1 1：利用数列的通项公式如何建立数：利用数列的通项公式如何建立数列任意两项之间的关系列任意两项之间的关系. .提示：提示：在等差数列在等差数列aan n 中，若中，若m m，nNnN* *，则则a an n=a=am m+(n-m)d.+(n-m)d.推导如下：因为对任意的推导如下：因为对任意的m m，nNnN* *，在等
9、差数列中，在等差数列中，有有a am m=a=a1 1+(m-1)d+(m-1)d，a an n=a=a1 1+(n-1)d+(n-1)d，由由-得得a an n-a-am m=(n-m)d=(n-m)d，所以所以a an n=a=am m+(n-m)d.+(n-m)d.探究探究2 2：若：若A= A= ，则，则a a，A A，b b是否成等差数列？若一个数列是否成等差数列？若一个数列任意相邻的三项具有这种关系，结果怎样？任意相邻的三项具有这种关系，结果怎样？提示提示：若若A= A= ，则，则a+b=2Aa+b=2A，A-a=b-AA-a=b-A，则，则a a，A A，b b成等差数成等差数列
10、，反之也成立列，反之也成立. .若若a an+1n+1= (a= (an n+a+an+2n+2) )，则，则a an+1n+1是它的前一项是它的前一项a an n与后一项与后一项a an+2n+2的等差的等差中项，由中项，由n n的任意性可得，数列的任意性可得，数列aan n 是等差数列是等差数列. .【探究总结探究总结】1.1.对等差数列通项公式的三点说明对等差数列通项公式的三点说明(1)(1)利用通项公式可以求出首项与公差利用通项公式可以求出首项与公差. .(2)(2)可以由首项与公差求出等差数列中的任意一项可以由首项与公差求出等差数列中的任意一项. .(3)(3)若某数为等差数列中的一
11、项，可以利用通项公式求出项数若某数为等差数列中的一项，可以利用通项公式求出项数. .2.2.等差中项的注意点等差中项的注意点(1)(1)等差中项等差中项A=A= a a，A A，b b成等差数列成等差数列. .(2)(2)用等差中项：用等差中项：a an+1n+1= (a= (an n+a+an+2n+2) )可以证明一个数列为等差数可以证明一个数列为等差数列列. .【拓展延伸拓展延伸】用函数的观点理解等差数列的通项公式用函数的观点理解等差数列的通项公式(1)(1)将等差数列的通项公式将等差数列的通项公式a an n=a=a1 1+(n-1)d+(n-1)d变形整理可得变形整理可得a an n
12、= =dn+adn+a1 1-d-d，从函数角度来看，从函数角度来看，a an n=dn+(a=dn+(a1 1-d)-d)是关于是关于n n的一次函的一次函数数(d0(d0时时) )或常数函数或常数函数(d=0(d=0时时).).(2)a(2)an n=dn+(a=dn+(a1 1-d)-d)的图象是一条射线上一些间距相等的点，其的图象是一条射线上一些间距相等的点，其中公差中公差d d是该射线所在直线的斜率，从上面的变形公式可以知是该射线所在直线的斜率，从上面的变形公式可以知道，道，d= (nm).d= (nm).类型一类型一等差数列的定义等差数列的定义1.1.给出下列数列，其中是等差数列的
13、是给出下列数列，其中是等差数列的是. .(1)0(1)0，-3-3，-6-6，-9-9，-12-12，. .(2)1(2)1，-1-1，1 1，-1-1，1 1，-1-1，. .(3)6(3)6，6 6，6 6，6 6，. .(4)6(4)6，5 5，3 3，1 1，-1-1，-3-3，. .2.2.已知已知c cn n= = 试判断数列试判断数列ccn n 是否为等差数列是否为等差数列. .【解题指南解题指南】1.1.验证从第二项起，每一项与其前一项的差是否验证从第二项起，每一项与其前一项的差是否等于同一个常数等于同一个常数. .2.2.分段函数要分别计算每一项与其前一项的差是否等于同一个分
14、段函数要分别计算每一项与其前一项的差是否等于同一个常数常数. .【自主解答自主解答】1.(1)1.(1)该数列从第该数列从第2 2项起，每一项与它的前一项的项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数差等于同一个常数-3-3，所以是等差数列，所以是等差数列. .(2)(2)因为因为-1-1=-2-1-1=-2，1-(-1)=21-(-1)=2，不是同一个常数，所以该数列不，不是同一个常数，所以该数列不是等差数列是等差数列. .(3)(3)该数列从第该数列从第2 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数数0 0，所以是等差数列，所以是等差数列. .(4)
15、(4)因为因为5-6=-15-6=-1，而从第，而从第3 3项起，每一项与它的前一项的差等于项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数同一个常数-2-2，所以该数列不是等差数列，但可以说从第，所以该数列不是等差数列，但可以说从第2 2项项起是一个等差数列起是一个等差数列. .答案：答案：(1)(3)(1)(3)2.2.因为因为c c2 2-c-c1 1=-1-1=-2=-1-1=-2，c cn+1n+1-c-cn n=2(n+1)-5-2n+5=2(n2).=2(n+1)-5-2n+5=2(n2).所以所以c cn+1n+1-c-cn n(n1)(n1)不等于同一个常数，不符合等差数列的定义不
16、等于同一个常数，不符合等差数列的定义. .所以所以ccn n 不是等差数列不是等差数列. .【规律总结规律总结】利用等差数列定义判定数列的步骤利用等差数列定义判定数列的步骤(1)(1)求第二项与第一项的差求第二项与第一项的差( (常数常数).).(2)(2)验证以后每一项与其前一项的差等于同一个常数验证以后每一项与其前一项的差等于同一个常数. .(3)(3)根据等差数列的定义，判定该数列是否为等差数列根据等差数列的定义，判定该数列是否为等差数列. .【变式训练变式训练】给出下列数列，其中是等差数列的是给出下列数列，其中是等差数列的是. .(1)1(1)1，2 2，4 4，6 6，8 8，. .(2)0(2)0，0 0，0 0，0 0，. .(3)3(3)3，6 6，9 9，1212，. .【解析解析】(1)(1)因为因为2-1=12-1=1，4-2=24-2=2，故该数列不是等差数列，故该数列不是等差数列. .(2)(2)因为因为0-0=0-0=0-0=0-0=0=0，所以是等差数列，所以是等差数列. .(3)(3)因为因为6-3=9-6=12-9=6-3=9-6=12-9=3=3，所
