1、4.3三角函数的图象与性质最新考纲考情考向分析1.能画出ysin x，ycos x，ytan x的图象，了解三角函数的周期性2.理解正弦函数、余弦函数在0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在内的单调性.以考查三角函数的图象和性质为主，题目涉及三角函数的图象及应用、图象的对称性、单调性、周期性、最值、零点考查三角函数性质时，常与三角恒等变换结合，加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识题型既有选择题和填空题，又有解答题，中档难度.1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数ysin x，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,0)，(，0)，(2，
2、0)(2)在余弦函数ycos x，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,1)，(，1)，(2，1)2正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中kZ) 函数ysin xycos xytan x图象定义域RR值域1,11,1R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2k，2k递减区间2k，2k无对称中心(k，0)对称轴方程xkxk无概念方法微思考1正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？提示正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期2思考函数f(x)Asin(x)(A0，0)是奇函数，偶函数的充要条件？提示(1)f(x)为偶
3、函数的充要条件是k(kZ)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是k(kZ)题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)ysin x在第一、第四象限是增函数()(2)由sinsin 知，是正弦函数ysin x(xR)的一个周期()(3)正切函数ytan x在定义域内是增函数()(4)已知yksin x1，xR，则y的最大值为k1.()(5)ysin|x|是偶函数()题组二教材改编2函数f(x)cos的最小正周期是_答案3y3sin在区间上的值域是_答案解析当x时，2x，sin，故3sin，即y3sin的值域为.4函数ytan的单调递减区间为_答案(kZ)解析由k2xk(kZ
4、)，得xcos 23cos 97解析sin 68cos 22，又ycos x在0，180上是减函数，sin 68cos 23cos 97.题型一三角函数的定义域1函数f(x)2tan的定义域是()A. B.C. D.答案D解析由正切函数的定义域，得2xk，kZ，即x(kZ)，故选D.2函数y的定义域为_答案(kZ)解析方法一要使函数有意义，必须使sin xcos x0.利用图象，在同一坐标系中画出0,2上ysin x和ycos x的图象，如图所示在0,2内，满足sin xcos x的x为，再结合正弦、余弦函数的周期是2，所以原函数的定义域为.方法二利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图中
5、阴影部分所示)所以定义域为.3函数ylg(sin x)的定义域为_答案解析要使函数有意义，则即解得所以2kx2k(kZ)，所以函数的定义域为.思维升华 三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解题型二三角函数的值域(最值)例1 (1)函数ycos 2x2cos x的值域是()A1,3 B.C. D.答案B解析ycos 2x2cos x2cos2x2cos x122，因为cos x1,1，所以原式的值域为.(2)(2018全国)已知函数f(x)2sin xsin 2x，则f(x)的最小值是_答案解析f(x)2cos x2cos
6、2x2cos x2(2cos2x1)2(2cos2xcos x1)2(2cos x1)(cos x1)cos x10，当cos x时，f(x)时，f(x)0，f(x)单调递增，当cos x时，f(x)有最小值又f(x)2sin xsin 2x2sin x(1cos x)，当sin x时，f(x)有最小值，即f(x)min2.思维升华 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：(1)形如yasin xbcos xc的三角函数化为yAsin(x)c的形式，再求值域(最值)；(2)形如yasin2xbsin xc的三角函数，可先设sin xt，化为关于t的二次函数求值域(最值)；(3)形如yas
7、in xcos xb(sin xcos x)c的三角函数，可先设tsin xcos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)(4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值跟踪训练1 (1)已知函数f(x)sin，其中x，若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是_答案解析x，x，当x时，f(x)的值域为，由函数的图象(图略)知，a，a.(2)(2018通辽质检)函数ysin xcos xsin xcos x的值域为_答案解析设tsin xcos x，则t2sin2xcos2x2sin xcos x，sin xcos x，且t.yt(t1)21，t，当t1时，ymax1；当t时
8、，ymin.函数的值域为.题型三三角函数的周期性与对称性例2 (1)若函数f(x)2tan的最小正周期T满足1T2，则自然数k的值为_答案2或3解析由题意得12，kN，k，kN，k2或3.(2)(2018辽阳模拟)若函数ycos(N)图象的一个对称中心是，则的最小值为_答案2解析由题意知k(kZ)，6k2(kZ)，又N，min2.思维升华 (1)对于函数yAsin(x)(A0，0)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点(2)求三角函数周期的方法利用周期函数的定义利用公式：yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小正周期为.跟踪训练2
9、 (1)(2018抚顺质检)下列函数中，是周期函数的为()Aysin|x| Bycos|x|Cytan|x| Dy(x1)0答案B解析cos|x|cos x，ycos|x|是周期函数(2)已知函数f(x)sin(x)的最小正周期为4，且xR，有f(x)f成立，则f(x)图象的一个对称中心坐标是()A. B.C. D.答案A解析由f(x)sin(x)的最小正周期为4，得.因为f(x)f恒成立，所以f(x)maxf，即2k(kZ)，又|，所以，故f(x)sin.令xk(kZ)，得x2k(kZ)，故f(x)图象的对称中心为(kZ)，当k0时，f(x)图象的对称中心坐标为.题型四三角函数的单调性命题点
10、1求三角函数的单调区间例3 (1)函数f(x)sin的单调递减区间为_答案(kZ)解析f(x)sinsinsin，由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.故所求函数的单调递减区间为(kZ)(2)函数f(x)tan的单调递增区间是_答案(kZ)解析由k2xk(kZ)，得x0，函数f(x)sin在上单调递减，则的取值范围是_答案解析由x0，得x0，kZ，得k0，所以.引申探究本例中，若已知0，函数f(x)cos在上单调递增，则的取值范围是_答案解析函数ycos x的单调递增区间为2k，2k，kZ，则kZ，解得4k2k，kZ，又由4k0，kZ且2k0，kZ，得k1，所以.思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中0)的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解但如果0，可借助诱导公式将化为正数，防止把单调性弄错(2)已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解跟踪训练3
