1、课时提升练(四十四)椭圆一、选择题1(2014西安模拟)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是()A.1B.1C.1D.y21【解析】由题意可知c1，a2，b2a2c23.C的方程为1.【答案】C2(2014银川模拟)已知正方形ABCD，以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的离心率为()A.1 B. C. D.1【解析】依题意，设|AB|m，则题中的椭圆的离心率是e1，故选D.【答案】D3(2013四川高考)从椭圆1(ab0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且ABOP(O是坐标原点)，则该椭圆的离
2、心率是()A.B. C.D.【解析】 由题意设P(c，y0)，将P(c，y0)代入1，得1，则yb2b2.y0或y0(舍去)，P，kOP.A(a,0)，B(0，b)，kAB.又ABOP，kABkOP，bc.e.故选C.【答案】C4(2014衡水模拟)已知F1，F2是椭圆y21的两个焦点，P为椭圆上一动点，则使|PF1|PF2|取最大值的点P为()A(2,0)B(0,1)C(2,0)D(0,1)或(0，1)【解析】由椭圆定义得|PF1|PF2|2a4，|PF1|PF2|24，当且仅当|PF1|PF2|2，即P(0，1)或(0,1)时，取“”【答案】D5(2014福建高考)设P，Q分别为圆x2(y
3、6)22和椭圆y21上的点，则P，Q两点间的最大距离是()A5B.C7D6【解析】如图所示，设以(0,6)为圆心，以r为半径的圆的方程为x2(y6)2r2(r0)，与椭圆方程y21联立得方程组，消掉x2得9y212yr2460.令12249(r246)0，解得r250，即r5.由题意易知P，Q两点间的最大距离为r6，故选D.【答案】D6椭圆C：1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是2，1，那么直线PA1斜率的取值范围是()A.B.C.D.【解析】由题意可得A1(2,0)，A2(2,0)，当PA2的斜率为2时，直线PA2的方程为y2(x2)，代入椭圆方程，消去y化
4、简得19x264x520，解得x2或x.由点P在椭圆上得点P，此时直线PA1的斜率k.同理，当直线PA2的斜率为1时，直线PA2方程为y(x2)，代入椭圆方程，消去y化简得7x216x40，解得x2或x.由点P在椭圆上得点P，此时直线PA1的斜率k.数形结合可知，直线PA1斜率的取值范围是.【答案】B二、填空题7(2014上海八校联考)直线x2y20过椭圆1的左焦点F1和一个顶点B，则椭圆的方程为_【解析】注意到直线x2y20与两坐标轴的交点坐标分别是(2,0)，(0,1)，依题意得F1(2,0)，B(0,1)，即b1，c2，a222125，所求的椭圆的方程是y21.【答案】y218(2014
5、辽宁高考)已知椭圆C：1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|BN|_.【解析】椭圆1中，a3.如图，设MN的中点为D，则|DF1|DF2|2a6.D，F1，F2分别为MN，AM，BM的中点，|BN|2|DF2|，|AN|2|DF1|，|AN|BN|2(|DF1|DF2|)12.【答案】129若方程1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是_【解析】因为方程1表示焦点在x轴上的椭圆，所以|a|1a30，解得3a2.【答案】(3，2)三、解答题10.图852(2014江苏高考)如图852，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆1
6、(ab0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.(1)若点C的坐标为，且BF2，求椭圆的方程；(2)若F1CAB，求椭圆离心率e的值【解】设椭圆的焦距为2c，则F1(c,0)，F2(c,0)(1)因为B(0，b)，所以BF2a.又BF2，故a.因为点C在椭圆上，所以1，解得b21.故所求椭圆的方程为y21.(2)因为B(0，b)，F2(c,0)在直线AB上，所以直线AB的方程为1.解方程组得或所以点A的坐标为.又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为.因为直线F1C的斜率为，直线AB的斜率为，且F1CAB
7、，所以1.又b2a2c2，整理得a25c2.故e2，因此e.11(2014安徽高考)设F1，F2分别是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|3|F1B|.(1)若|AB|4，ABF2的周长为16，求|AF2|；(2)若cosAF2B，求椭圆E的离心率【解】(1)由|AF1|3|F1B|，|AB|4，得|AF1|3，|F1B|1.因为ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a16，|AF1|AF2|2a8.故|AF2|2a|AF1|835.(2)设|F1B|k，则k0且|AF1|3k，|AB|4k.由椭圆定义可得|AF2|2a3k，|BF2|2ak.在
8、ABF2中，由余弦定理可得|AB|2|AF2|2|BF2|22|AF2|BF2|cosAF2B，即(4k)2(2a3k)2(2ak)2(2a3k)(2ak)，化简可得(ak)(a3k)0.而ak0，故a3k.于是有|AF2|3k|AF1|，|BF2|5k.因此|BF2|2|F2A|2|AB|2，可得F1AF2A，故AF1F2为等腰直角三角形从而ca，所以椭圆E的离心率e.12(2014绍兴模拟)图853如图853所示，椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)已知点M在椭圆上，且点M到两焦点距离之和为4.(1)求椭圆的方程；(2)设与MO(O为坐标原点)垂直的直线交椭圆于A，B(A，B不重合)，求的取值范围【解】(1)2a4，a2，又M在椭圆上，1，解得b22，所求椭圆方程1.(2)由题意知kMO，kAB，设直线AB的方程为yxm，联立方程组消去y，得13x24mx2m240，(4m)2413(2m24)8(26m2)0.m226，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1x2，x1x2.则x1x2y1y27x1x2m(x1x2)m2.的取值范围是.7
