1、 高中数学必修高中数学必修 2 2 知识点知识点 一、直线与方程一、直线与方程 （1 1）直线的倾斜角）直线的倾斜角 定义：x轴正向正向与直线向上方向向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此，倾斜角的取值范围是 0180 （2 2）直线的斜率）直线的斜率 定义：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。即tank=。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当)90,0时，0k； 当()180,90时，0k； 当90=时，k不存在。 过两点的直线的斜率公式：)(211212xxxxyyk= 注意下面
2、四点：(1)当21xx =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 90； (2)k与P1、P2的顺序无关； (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 （3 3）直线方程）直线方程 点斜式：点斜式：)(11xxkyy=直线斜率k，且过点()11, yx 注意：注意：当直线的斜率为 0时，k=0，直线的方程是y=y1。 当直线的斜率为 90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。 斜截式：斜截式：bkxy+=，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b 两点
3、式：两点式：112121yyxxyyxx=（1212,xx yy）直线两点()11, yx，()22,yx 截矩式：截矩式：1xyab+= 其中直线l与x轴交于点( ,0)a,与y轴交于点(0, )b,即l与x轴、y轴的截距截距分别为, a b。 一般式：一般式：0=+CByAx（A，B不全为不全为 0 0） 注意：注意：1 各式的适用范围 2 特殊的方程如： 平行于x轴的直线：by =（b为常数） ； 平行于y轴的直线：ax =（a为常数） ； （5 5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （一）平行直线系（一）平行直线系 平行于已知直线0000=+C
4、yBxA（00,BA是不全为 0 的常数）的直线系：000=+CyBxA（C为常数） （二）过定点的直线系（二）过定点的直线系 （）斜率为k的直线系：()00 xxkyy=，直线过定点()00, yx； （） 过两条直线0:1111=+CyBxAl，0:2222=+CyBxAl的交点的直线系方程为 ()()0222111=+CyBxACyBxA（为参数） ，其中直线2l不在直线系中。 （6 6）两直线平行与垂直）两直线平行与垂直 当111:bxkyl+=，222:bxkyl+=时， 212121,/bbkkll=；12121=kkll 注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否
5、。注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。 （7 7）两条直线的交点）两条直线的交点 0:1111=+CyBxAl 0:2222=+CyBxAl相交 交点坐标即方程组=+=+00222111CyBxACyBxA的一组解。 方程组无解21/ll ； 方程组有无数解1l与2l重合 （8 8）两点间距离公式：）两点间距离公式：设1122( ,),A x yB x y，（）是平面直角坐标系中的两个点， 则222121|()()ABxxyy=+ （9 9） 点到直线距离公式：） 点到直线距离公式： 一点()00,yxP到直线0:1=+CByAxl的距离2200BACByAxd+= （
6、1010）两平行直线距离公式）两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。 二、圆的方程二、圆的方程 1 1、圆的定义：、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。 2 2、圆的方程、圆的方程 （1 1）标准方程）标准方程()()222rbyax=+，圆心()ba,，半径为 r； （2 2）一般方程）一般方程022=+FEyDxyx 当0422+FED时，方程表示圆，此时圆心为2,2ED，半径为FEDr42122+= 当0422=+FED时，表示一个点； 当0422+FED时，方程不表示任何图形。 （3 3）求圆方程的方法：
7、）求圆方程的方法： 一般都采用待定系数法： 先设后求。一般都采用待定系数法： 先设后求。 确定一个圆需要三个独立条件， 若利用圆的标准方程， 需求出 a，b，r；若利用一般方程，需要求出 D，E，F； 另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。 3 3、直线与圆的位置关系：、直线与圆的位置关系： 直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断： （1）设直线0:=+CByAxl，圆()()222:rbyaxC=+，圆心()baC,到l的距离为22BACBbAad
8、+=， 则有相离与Clrd；相切与Clrd=；相交与Clrd （2）设直线0:=+CByAxl，圆()()222:rbyaxC=+，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为，则有 相离与Cl0；相切与Cl=0；相交与Cl0 注：如果圆心的位置在原点，可使用公式200ryyxx=+去解直线与圆相切的问题，其中()00, yx表示切点坐标，r 表示半径。 (3)(3)过圆上一点的切线方程：过圆上一点的切线方程： 圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为200ryyxx=+ (课本命题) 圆(x-a)2+(y-b)2=r2， 圆 上 一 点 为(x0，
9、y0)， 则 过 此 点 的 切 线 方 程 为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (课本命题的推广) 4 4、圆与圆的位置关系：、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差） ，与圆心距（d）之间的大小比较来确定。 设圆()()221211:rbyaxC=+，()()222222:RbyaxC=+ 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差） ，与圆心距（d）之间的大小比较来确定。 当rRd+时两圆外离，此时有公切线四条； 当rRd+=时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条； 当rRdrR+时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线； 当rRd=时，两圆内切，
10、连心线经过切点，只有一条公切线； 当rRd时，两圆内含； 当0=d时，为同心圆。 三、立体几何初步三、立体几何初步 1 1、柱、锥、台、球的结构特征、柱、锥、台、球的结构特征 （1 1）棱柱：定义）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。 分类分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示表示：用各顶点字母，如五棱柱EDCBAABCDE或用对角线的端点字母，如五棱柱AD 几何特征几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多
11、边形。 （2 2）棱锥）棱锥 定义定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示表示：用各顶点字母，如五棱锥EDCBAP 几何特征几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 （3 3）棱台：定义）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示表示：用各顶点字母，如五棱台EDCBAP 几何特征几何特征：上下底面是相似的平行多
12、边形 侧面是梯形 侧棱交于原棱锥的顶点 （4 4）圆柱：定义）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征几何特征：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面展开图是一个矩形。 （5 5）圆锥：定义）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征几何特征：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形。 （6 6）圆台：定义：）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：几何特征： 上下底面是两个圆； 侧面母线交于原圆锥的顶点； 侧面展开图是一个弓形
13、。 （7 7）球体：定义：）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：几何特征：球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。 2 2、空间几何体的三视图、空间几何体的三视图 定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影） ；侧视图（从左向右） 、 俯视图（从上向下） 注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度； 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度； 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 3 3、空间几何体的直观图、空间几何体的直观图斜二测画法斜二测画法 斜二测画法特
14、点：斜二测画法特点：原来与 x 轴平行的线段仍然与 x 平行且长度不变； 原来与 y 轴平行的线段仍然与 y 平行，长度为原来的一半。 4 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积、柱体、锥体、台体的表面积与体积 （1 1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 （2 2）特殊几何体表面积公式（）特殊几何体表面积公式（c c 为底面周长，为底面周长，h h 为高，为高，h为斜高，为斜高，l l 为母线）为母线） chS=直棱柱侧面积 rhS2=圆柱侧 21chS=正棱锥侧面积 rlS=圆锥侧面积 )(2121hccS+=正棱台侧面积 lRrS)( +=圆台
15、侧面积 ()lrrS+=2圆柱表 ()lrrS+=圆锥表 ()22RRlrlrS+=圆台表 （3 3）柱体、锥体、台体的体积公式）柱体、锥体、台体的体积公式 VSh=柱 2VShr h=圆柱 13VSh=锥 hrV231=圆锥 1()3VSS SS h=+台 2211()()33VSS SS hrrRRh=+=+圆台 （4 4）球体的表面积和体积公式：）球体的表面积和体积公式：V球=343R ； S球面=24 R 4 4、空、空间点、直线、平面的位置关系间点、直线、平面的位置关系 （1 1）平面）平面 平面的概念：平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无限伸展的； 平面的表示：平面的表示：
16、通常用希腊字母、表示，如平面（通常写在一个锐角内） ； 也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面 BC。 点与平面的关系：点与平面的关系：点A在平面内，记作A；点A不在平面内，记作A 点与直线的关系：点与直线的关系：点A的直线l上，记作：Al； 点A在直线l外，记作Al； 直线与平面的关系直线与平面的关系： 直线l在平面内， 记作l； 直线l不在平面内， 记作l。 （2 2）公理）公理 1 1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。 （即直线在平面内，或者平面经过直线） 应用：应用：检验桌面是否平； 判断直线是否在平面内 用符号语言表示公理用符号语言表示公理 1 1：,Al Bl ABl （3 3）公理）公理 2 2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论：推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。 公理公理 2 2 及其推论作用：及其推论作用：它是空间内确定平面的依据 它是证明平面重合的依据 （4 4）公理）公理 3 3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号：符
