1、1导数的计算。例1 求下列函数的导数：（1）y=sin(3x+1)；（2）；（3）y=ecos2x；（4）；（5）y=(1-2x)x(x0且)。解 （1）3cos(3x+1).(2)（3）（4）（5）2用导数讨论函数的单调性。例2 设a0，求函数f(x)=-ln(x+a)(x(0,+)的单调区间。解 ，因为x0,a0，所以x2+(2a-4)x+a20；x2+(2a-4)x+a+1时，对所有x0，有x2+(2a-4)x+a20，即(x)0,f(x)在(0,+)上单调递增；（2）当a=1时，对x1,有x2+(2a-4)x+a20，即，所以f(x)在（0，1）内单调递增，在（1，+）内递增，又f(x
2、)在x=1处连续，因此f(x)在(0,+)内递增；（3）当0a0，解得x2-a+，因此，f(x)在(0,2-a-)内单调递增，在(2-a+,+)内也单调递增，而当2-a-x2-a+时，x2+(2a-4)x+a22x.证明 设f(x)=sinx+tanx-2x，则=cosx+sec2x-2，当时，（因为0cosxf(0)=0，即sinx+tanx2x.4.利用导数讨论极值。例4 设f(x)=alnx+bx2+x在x1=1和x2=2处都取得极值，试求a与b的值，并指出这时f(x)在x1与x2处是取得极大值还是极小值。解 因为f(x)在(0,+)上连续，可导，又f(x)在x1=1，x2=2处取得极值
3、，所以，又+2bx+1，所以解得所以.所以当x(0,1)时，所以f(x)在(0,1上递减；当x(1,2)时，所以f(x)在1，2上递增；当x(2,+)时，所以f(x)在2，+）上递减。综上可知f(x)在x1=1处取得极小值，在x2=2处取得极大值。例5 设x0,y0,1，试求函数f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x的最小值。解 首先，当x0,y0,1时，f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y)2x=(1-y)2x，令g(x)=,当时，因为cosx0,tanxx，所以；当时，因为cosx0,tanx0，所以；又因为g(x)在(0,)
4、上连续，所以g(x)在(0,)上单调递减。又因为0(1-y)xxg(x)，即，又因为，所以当x(0,),y(0,1)时，f(x,y)0.其次，当x=0时，f(x,y)=0；当x=时，f(x,y)=(1-y)sin(1-y)0.当y=1时，f(x,y)=-sinx+sinx=0；当y=1时，f(x,y)=sinx0.综上，当且仅当x=0或y=0或x=且y=1时，f(x,y)取最小值0。1.（2009全国卷理） 已知直线y=x+1与曲线相切，则的值为( ) A.1 . 2 C.-1 D.-2答案 B解:设切点，则,又.故答案 选B 2.（2009安徽卷理）已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程
5、是 ( )A. B. C. D. 答案 A解析 由得几何，即，切线方程，即选A3.（2009江西卷文）若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于( ) A或 B或 C或 D或答案 A解析 设过的直线与相切于点，所以切线方程为即，又在切线上，则或，当时，由与相切可得，当时，由与相切可得，所以选.4.（2009辽宁卷理）若满足2x+=5, 满足2x+2(x1)=5, +( )A. B.3 C. D.4答案 C解析 由题意 所以, 即2 令2x172t,代入上式得72t2log2(2t2)22log2(t1) 52t2log2(t1)与式比较得tx2 于是2x172x25.（2009天津卷理）设函数则(
6、 )A在区间内均有零点。 B在区间内均无零点。C在区间内有零点，在区间内无零点。D在区间内无零点，在区间内有零点。 解析：由题得，令得；令得；得，故知函数在区间上为减函数，在区间为增函数，在点处有极小值；又，故选择D。6.若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 .解析 由题意该函数的定义域，由。因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题转化为范围内导函数存在零点。解法（分离变量法）上述也可等价于方程在内有解，显然可得 7.(2009陕西卷理)设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则的值为 . 答案 -28（2010.全国1文）设，当时，恒成立，求实数的取值范围【解析】：
7、，由得，即或；由得即，所以函数单调增区间是，；函数的单调减区间是。由恒成立，大于的最大值。当时，(1)当时，为增函数，所以；(2)当时，为减函数，所以；(3)当时，为增函数，所以；因为，从而复数1.(2009年广东卷文)下列n的取值中，使=1(i是虚数单位）的是 （ ）A.n=2 B .n=3 C .n=4 D .n=5【解析】因为,故选C. 答案 C2. （2009广东卷理）设是复数，表示满足的最小正整数，则对虚数单位，（ ）A. 8 B. 6 C. 4 D. 2【解析】，则最小正整数为4，选C.答案 C3.（2009浙江卷理）设（是虚数单位），则 ( ) A B C D 【解析】对于答案
8、D4.（2009浙江卷文）设（是虚数单位），则 （ ）A B C D 【解析】对于 答案 D5.（2009北京卷理）在复平面内，复数对应的点位于 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解析】 ，复数所对应的点为，故选B.答案 B6.(2009山东卷理)复数等于（ ） A B. C. D. 【解析】: ,故选C. 答案 C7.(2009山东卷文)复数等于 （ ） A B. C. D. 【解析】: ,故选C.答案 C8.（2009全国卷理）已知=2+i,则复数z= （ ） （A）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i【解析】 故选B。 答案 B 9.（2009安
9、徽卷理）i是虚数单位，若，则乘积的值是( ) （A）15 （B）3 （C）3 （D）15 【解析】 ，选B。答案 B10.（2009安徽卷文）i是虚数单位，i(1+i)等于（ ）A1+i B. -1-i C.1-i D. -1+i【解析】依据虚数运算公式可知可得，选D.答案 D11.（2009江西卷理）若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）A B C D或 【解析】由 故选A答案 A12.(2009湖北卷理)投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n,则复数（m+ni）(n-mi)为实数的概率为（ ）A、 B、 C、 D、 【解析】因为为实数所以故则可以取1、26，共6种可能，所以答案 C13.（2009全国卷理）（ ）A. B. C. D. 【解析】：原式.故选A.答案 A14.（2009辽宁卷理）已知复数，那么=（ ）（A） （B） （C） （D）【解析】答案 D15.（2009宁夏海南卷理）复数（ ）（A）0 （B）2 （C）-2i (D)2 【解析】,选D答案 D
