1、 数列存在性问题探究1 分式类型双变量存在性设等差数列的前项和为且（1）求数列的通项公式及前项和公式；（2）设数列的通项公式为，问：是否存在正整数t，使得成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由练习一探究2：设是公差不为零的等差数列，为其前项和，且（1）求数列的通项公式及前项和；（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项w.w.w.探究2双变量指数类型存在性问题缩范围已知数列an中，a2=1，前n项和为Sn，且（1）求a1； （2）证明数列an为等差数列，并写出其通项公式；（3）设，试问是否存在正整数p，q(其中1pq)，使b1，bp，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数
2、组(p，q)；若不存在，说明理由变式：已知数列，满足，（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）设数列满足，对于任意给定的正整数，是否存在正整数，()，使得，成等差数列？若存在，试用表示，；若不存在，说明理由探究3 三变量有理性的存在性问题等差数列的前项和为（1）求数列的通项与前项和；（2）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列探究4 三变量利用奇偶性解决存在性问题已知数列满足：，数列满足：（1）求数列，的通项公式；（2）证明：数列中的任意三项不可能成等差数列探究5 指数型三变量存在性问题放缩+控范围在数列中，已知，设为的前项和 （1）求证：数列是等差数列； （2）求；
3、 （3）是否存在正整数，使成等差数列？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由探究6 分式类型三变量存在类型整除类型已知数列，满足，（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）设数列满足，对于任意给定的正整数，是否存在正整数，()，使得，成等差数列？若存在，试用表示，；若不存在，说明理由【探究1解】（1）（2），要使得成等差数列，则即： 即：，只能取2，3，5 当时，；当时，；当时，【练习一解】（1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，,所以的通项公式为，前n项和(2) =，若其是中的项，则， 令，则=, 即： 所以为8的约数 因为是奇数，所以可取的值为，当，即时，；
4、当，即时，（舍去）【探究2】（1）令n=1，则a1=S1=0 （2）由，即， 得 ，得 于是， +，得，即又a1=0，a2=1，a2a1=1，所以，数列an是以0为首项，1为公差的等差数列所以，an=n1 （3）解法1：假设存在正整数数组(p，q)，使b1，bp，bq成等比数列，则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列，于是， 时，0，故数列( )为递减数列，时，0，故数列()为递减数列，即时，又当时，故无正整数q使得成立解法2：同上有，且数列( )为递减数列，当时，成立；当时，因此，由得，此时变式解析：【解答】解：（1）An=n2，a1=1，n2时，an=AnAn1=n2（n1）2=2n1，
5、n=1时也成立，an=2n1对任意nN*，an+1an=2（bn+1bn）恒成立bn+1bn=（an+1an）=1b1=2，数列bn是等差数列，公差为1，首项为2，Bn=2n+=+n（2）Bn+1Bn=an+1an=2（bn+1bn）=bn+1，可得bn+1=2bn，数列bn是等比数列，公比为2bn=，an=Bn=b1（2n1）=，+=+=成立，b1，b13（3）由an+1an=2（bn+1bn）=2n+1n2时，an=（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1=2n+2n1+22+2=2n+12当n=1时也成立An=2n=2n+242n又Bn=2n+12=2假设存在两个互不相等的整
6、数s，t（1st），使，成等差数列等价于，成等差数列，2=1+1，21，即2s2s+1，令h（s）=2s2s1，则h（s+1）h（s）=2s+12（s+1）1（2s2s1）=2s20，h（s）单调递增，若s3，则h（s）h（3）=10，不满足条件，舍去s=2，代入得： =1+，可得2t3t1=0（t3）t=3时不满足条件，舍去t4时，令u（t）=2t3t1=0（t4），同理可得函数u（t）单调递增，u（t）u（4）=30，不满足条件综上可得：不存在两个互不相等的整数s，t（1st），使，成等差数列【探究4】（1）由题意可知， 令，则又，则数列是首项为，公比为的等比数列，即，故，又，故，（2）假
7、设数列存在三项按某种顺序成等差数列，由于数列是首项为，公比为的等比数列，于是有，则只有可能有 成立 ，即 即：由于，所以上式左边为偶数，右边为奇数，故上式不可能成立，导致矛盾因此数列中任意三项不可能成等差数列探究5（1）证明：因为，所以，2分又因为，所以，所以是首项为1，公差为的等差数列 4分（2）由（1）知，所以，6分所以，所以，两式相减得 ，所以10分（3）假设存在正整数，使成等差数列， 则，即 由于当时，所以数列单调递减 又，所以且至少为2，所以， 12分 当时，又， 所以，等式不成立14分当时，所以，所以，所以(单调递减，解唯一确定)综上可知，的值为， 16分探究6（1）因为，所以，则， 2分所以，又，所以，故是首项为，公差为的等差数列， 4分即，所以 6分（2）由（1）知，所以，当时，若，成等差数列，则（），因为，所以，所以（）不成立 9分当时，若，成等差数列，则，所以，即，所以， 12分欲满足题设条件，只需，此时， 14分因为，所以，即 15分综上所述，当时，不存在，满足题设条件；当时，存在，满足题设条件16分
