1、第五章第五章 单元测试卷单元测试卷 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分每小题中只有一项符合题目要求) 1下列各式中不能化简为AD的是( ) A.ABCDBC B.ADEBBCCE C.MBMABD D.CBADBC 答案 D 解析 CBADBC2CBAD. 2与向量 a(5,12)方向相反的单位向量是( ) A(5，12) B(513，1213) C(12，32) D(513，1213) 答案 D 解析 与 a 方向相反的向量只能选 A，D，其中单位向量只有 D. 也可用公式 na|a|(5，12)(5)2122(513，1213)求得 3设向量 a，b 均为单位向
2、量，且|ab|1，则 a 与 b 夹角为( ) A.3 B.2 C.23 D.34 答案 C 解析 如图所示，四边形 ABCD 为平行四边形，ABC 为边长为 1 的等边三角形，记ABa，ADb，则 a 与 b 的夹角为23，故选 C. 4设 xR，向量 a(x,1)，b(1，2)，且 ab，则|ab|( ) A. 5 B. 10 C2 5 D10 答案 B 解析 ab，a b0，即 x20. x2，a(2,1)，a25. 又b25，|ab| (ab)2 a22a bb2 10.故选 B. 5已知 a，bR，i 是虚数单位，若 ai 与 2bi 互为共轭复数，则(abi)2( ) A54i B
3、54i C34i D34i 答案 D 解析 根据已知得 a2，b1，所以(abi)2(2i)234i. 6已知复数 z(12i)234i，则1|z| z等于( ) A0 B1 C1 D2 答案 A 解析 z(12i)234i(4i3)(34i)25169251，所以1|z| z110.故选 A. 7对于复数 z1，z2，若(z1i)z21，则称 z1是 z2的“错位共轭”复数，则复数3212i 的“错位共轭”复数为( ) A3612i B3232i C.3612i D.3232i 答案 D 解析 方法一：由(zi)(3212i)1，可得 zi13212i3212i，所以 z3232i. 方法二
4、： (zi)(3212i)1 且|3212i|1， 所以 zi 和3212i 是共轭复数， 即 zi3212i， 故 z3232i. 8已知向量 a，b 满足|a|2，a22a b，则|ab|的最小值为( ) A.14 B.12 C1 D2 答案 C 解析 根据已知由 a22a b， 可得 2a b4且|b|cos1(其中 为两向量夹角)， 故|ab| a2b22a b|b|1cos1，即当 cos1 时取得最小值 1. 9如图所示，已知点 O 是边长为 1 的等边三角形 ABC 的中心，则(OAOB) (OAOC)等于( ) A.19 B19 C.16 D16 答案 D 解析 点 O 是边长
5、为 1 的等边三角形 ABC 的中心， |OA|OB|OC|33，AOBBOCAOC23. (OAOB) (OAOC)OA2OA OCOA OBOB OC(33)23(33)2cos2316. 10与向量 a(72，12)，b(12，72)的夹角相等，且模为 1 的向量是( ) A(45，35) B(45，35)或(45，35) C(2 23，13) D(2 23，13)或(2 23，13) 答案 B 解析 方法一：|a|b|，要使所求向量 e 与 a，b 夹角相等，只需 a eb e. (72，12) (45，35)(12，72) (45，35)52，排除 C，D. 又(72，12) (45
6、，35)(12，72) (45，35)52.排除 A. 方法二：设 aOA，bOB.由已知得|a|b|，ab，则与向量 a，b 的夹角相等的向量在AOB 的角平分线上，与 ab 共线ab(4，3)，与 ab 共线的单位向量为ab|ab| (45，35)，即(45，35)或(45，35) 11若 O 为平面内任一点且(OBOC2OA) (ABAC)0，则ABC 是( ) A直角三角形或等腰三角形 B等腰直角三角形 C等腰三角形但不一定是直角三角形 D直角三角形但不一定是等腰三角形 答案 C 解析 由(OBOC2OA)(ABAC)0，得(ABAC) (ABAC)0. AB2AC20，即|AB|AC
7、|. ABAC. 12若平面内共线的 A，B，P 三点满足条件OPa1OAa4 027OB，其中an为等差数列，则 a2 014等于( ) A1 B1 C12 D.12 答案 D 解析 由OPa1OAa4 027OB及向量共线的充要条件得 a1a4 0271. 又因为数列an为等差数列， 所以 2a2 014a1a4 0271，故 a2 01412. 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上) 13已知复数 z1 3i3i， z 是 z 的共轭复数，则 z 的模等于_ 答案 1 解析 z1 3i3ii2 3i3ii(i 3)3ii，| z |i|1.
8、14已知 A，B，C 是圆 O：x2y21 上三点，OAOBOC，则AB OA_. 答案 32 解析 由题意知，OACB 为菱形，且OAC60 ，AB 3，AB OA 31cos150 32. 15已知向量 a，b 满足|a|1，|ab| 7， a，b3，则|b|_. 答案 2 解析 由|ab| 7，可得|ab|2a22a bb2121|b|cos3|b|27，所以|b|2|b|60，解得|b|2 或|b|3(舍去) 16已知向量 a(1,1)，b(2，n)，若|ab|a b，则 n_. 答案 3 解析 易知 ab(3，n1)，a b2n.|ab|a b， 32(n1)22n，解得 n3. 三
9、、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(本小题满分 10 分) 已知 A(1,0)，B(0,2)，C(3,1)，AB AD5，|AD| 10. (1)求 D 点坐标； (2)若 D 点在第二象限，用AB，AD表示AC； (3)AE(m,2)，若 3ABAC与AE垂直，求AE的坐标 答案 (1)D(2,1)或 D(2,3) (2)ACABAD (3)AE(14,2) 解析 (1)设 D(x，y)，则AB(1,2)，AD(x1，y) AB ADx12y5，(x1)2y210. 解得 x2，y1或 x2，y3. D(2,1)或 D(2,3) (2)
10、由(1)可知AD(1,3) 设ACmABnAD， 即(2,1)m(1,2)n(1,3)， 2mn，12m3n. m1，n1.ACABAD. (3)3ABAC3(1,2)(2,1)(1,7)，AE(m,2)，且 3ABAC与AE垂直， (3ABAC) AE0. m140.m14. AE(14,2) 18(本小题满分 12 分) 已知向量 a(sin，cos)，与 b( 3，1)，其中 (0，2) (1)若 ab，求 sin 和 cos 的值； (2)若 f()(ab)2，求 f()的值域 答案 (1)sin32，cos12 (2)(7,9 解析 (1)ab， sin 1 3cos0，求得 tan
11、 3. 又(0，2)，3，sin32，cos12. (2)f()(sin 3)2(cos1)22 3sin2cos54sin(6)5. 又(0，2)，6(6，23)，12sin(6)1. 7f()9，即函数 f()的值域为(7,9 19(本小题满分 12 分) 设ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足(2ac) BC BAc CA CB0. (1)求角 B 的大小； (2)若 b2 3.试求AB CB的最小值 答案 (1)23 (2)2 解析 (1)因为(2ac)BC BAcCA CB0， 所以(2ac)accosBcabcosC0. 即(2ac)cosBbcosC
12、0. 则(2sinAsinC)cosBsinBcosC0. 所以 2sinAcosBsin(CB)0. 即 cosB12，所以 B23. (2)因为 b2a2c22accos23， 所以 12a2c2ac3ac，即 ac4. 当且仅当 ac 时取等号，此时 ac 最大值为 4. 所以AB CBaccos2312ac2. 即AB CB的最小值为2. 20(本小题满分 12 分) 已知向量 a(m，cos2x)，b(sin2x，n)，函数 f(x)a b，且 yf(x)的图像过点(12， 3)和点(23，2) (1)求 m，n 的值； (2)将 yf(x)的图像向左平移 (0)个单位后得到函数 y
13、g(x)的图像，若 yg(x)图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为 1，求 yg(x)的单调递增区间 答案 (1)m 3，n1 (2)k2，k，kZ 解析 (1)由题意知 f(x)a bmsin2xncos2x. 因为 yf(x)的图像经过点(12， 3)和(23，2)， 所以 3msin6ncos6，2msin43ncos43. 即 312m32n，232m12n， 解得 m 3，n1. (2)由(1)知 f(x) 3sin2xcos2x2sin(2x6) 由题意知 g(x)f(x)2sin(2x26) 设 yg(x)的图像上符合题意的最高点为(x0,2)， 由题意知 x2011，所
14、以 x00. 即到点(0,3)的距离为 1 的最高点为(0,2) 将其代入 yg(x)得 sin(26)1. 因为 0，所以 6. 因此 g(x)2sin(2x2)2cos2x. 由 2k2x2k，kZ，得 k2xk，kZ，所以函数 yg(x)的单调递增区间为k2，k，kZ. 21(本小题满分 12 分) 已知向量 m( 3sinx4，1)，n(cosx4，cos2x4) (1)若 m n1，求 cos(23x)的值； (2)记 f(x)m n，在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且满足(2ac)cosBbcosC，求函数 f(A)的取值范围 答案 (1)12 (2)(1，
15、32) 解析 (1)m n 3sinx4cosx4cos2x4 32sinx21cosx22sin(x26)12， m n1，sin(x26)12. cos(x3)12sin2(x26)12， cos(23x)cos(x3)12. (2)(2ac)cosBbcosC， 由正弦定理，得(2sinAsinC)cosBsinBcosC. 2sinAcosBsinCcosBsinBcosC. 2sinAcosBsin(BC) ABC，sin(BC)sinA0. cosB12.0B，B3.0A23. 6A262，sin(A26)(12，1) 又f(x)sin(x26)12. f(A)sin(A26)12
16、. 故函数 f(A)的取值范围是(1，32) 22(本小题满分 12 分) 已知平面上的两个向量OA，OB满足|OA|a，|OB|b，且OAOB，a2b24.向量OPxOAyOB(x，yR)，且 a2(x12)2b2(y12)21. (1)如果点 M 为线段 AB 的中点，求证：MP(x12)OA(y12)OB； (2)求|OP|的最大值，并求出此时四边形 OAPB 面积的最大值 答案 (1)略 (2)|OP|的最大值为 2，此时四边形 OAPB 面积最大值为 2 解析 (1)因为点 M 为线段 AB 的中点，所以OM12(OAOB) 所以MPOPOM(xOAyOB)12(OAOB)(x12)OA(y12)OB. (2)设点 M 为线段 AB 的中点，则由OAOB，知|MA|MB|MO|12|AB|1. 又由(1)及 a2(x12)2b2(y12)21，得|MP|2|OPOM|2(x12)2OA2(y12)2OB2a2(x12)2b2(y12)21.所以|MP|MA|MB|MO|12|AB|1， 所以 P， O， A， B 四点都在以 M 为圆心， 1 为半径的圆上 所以当且仅当 OP
