1、 考点十六考点十六 直线与圆锥曲线综合问题直线与圆锥曲线综合问题 一、选择题 1已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 3，右焦点到一条渐近线的距离为 2，则此双曲线的焦距等于( ) A. 3 B2 3 C3 D6 答案 B 解析 由题意， 得焦点F(c,0)到渐近线bxay0的距离为d|bc0|a2b2bccb 2，又ca 3，c2a2b2，解得 c 3，所以该双曲线的焦距为 2c2 3，故选 B. 2已知圆 O：x2y24，从圆上任意一点 P 向 y 轴作垂线段 PP1(P1在 y 轴上)，点 M 在直线 PP1上，且向量P1M2P1P，则动点 M 的轨迹方程是( ) A4x
2、216y21 B16x24y21 C.x24y2161 Dx216y241 答案 D 解析 由题意可知 P 是 MP1的中点，设点 M(x，y)，P(x0，y0)，P1(0，y0)，则 x012x，y0y.又 x20y204，故x22y24，即x216y241.故选 D. 3(2020 天津高考)设双曲线 C 的方程为x2a2y2b21(a0，b0)，过抛物线y24x 的焦点和点(0，b)的直线为 l.若 C 的一条渐近线与 l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线 C 的方程为( ) A.x24y241 Bx2y241 C.x24y21 Dx2y21 答案 D 解析 由题意可知，抛物线的焦
3、点为(1,0)，所以直线 l 的斜率为b，又双曲线的渐近线的方程为 ybax，所以bba，bba1.因为 a0，b0，所以 a1，b1.故选 D. 4 (2020 山东潍坊高密二模)已知椭圆E：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交椭圆于 A，B 两点若 AB 的中点坐标为(1，1)，则椭圆 E 的方程为( ) A.x245y2361 Bx245y2271 C.x227y2181 Dx218y291 答案 D 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x21a2y21b21，x22a2y22b21，两式相减并化简得b2a2y1y2x1x2y1y2x1x
4、2，即b2a2110(1)3112b2a212a22b2，由于 a2b2c2且 c3，由此可解得 a218，b29，故椭圆 E 的方程为x218y291.故选 D. 5(2020 山东临沂二模、枣庄三调)已知 F 是抛物线 y22px(p0)的焦点，过F 的直线与抛物线交于 A，B 两点，AB 的中点为 C，过 C 作抛物线准线的垂线交准线于 C1，若 CC1的中点为 M(1,4)，则 p( ) A4 B8 C4 2 D8 2 答案 B 解析 因为 CC1的中点为 M(1,4)，所以 yAyB8，xCp212，所以 xC 2p2，因为 xAxBp2xCp2，所以 xAxB4p，设直线 AB 的
5、方程为 xmyp2，代入抛物线的方程，得 y22pmyp20，所以 yAyB2pm，xAxBm(yAyB)p8mp，所以 82pm，8mp4p，解得 p8，m12，故选 B. 6已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F，短轴的一个端点为 P，直线 l：4x3y0 与椭圆 C 相交于 A，B 两点若|AF|BF|6，点 P 到直线 l 的距离不小于65，则椭圆 C 的离心率的取值范围是( ) A.0，59 B0，32 C.0，53 D13，32 答案 C 解析 如图所示， 设F为椭圆的左焦点， 连接AF， BF， 则四边形AFBF是平行四边形，可得 6|AF|BF|AF|AF|2
6、a，得 a3，取 P(0，b)，由点 P 到直线 l 的距离不小于65，可得|3b|(3)24265，解得|b|2.所以 eca1b2a2 14953，故选 C. 7(多选)(2020 山东泰安二轮复习质量检测)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线方程为 x2y0，双曲线的左焦点在直线 xy 50 上，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点 P 为双曲线右支上位于第一象限的动点，PA，PB的斜率分别为 k1，k2，则 k1k2的取值可能为( ) A.34 B1 C43 D2 答案 CD 解析 根据题意知ba12，c 5，故 a2，b1，双曲线方程为x24y21，则 A(2,0)，
7、B(2,0)，设 P(x0，y0)，则x204y201，x00，y00，k1k2y0 x02y0 x022x0y0 x204x02y0，根据渐近线方程知 0y0 x01.故选 CD. 8 (多选)(2020 海南中学高三第七次月考)已知抛物线 C： y24x 的焦点为 F、准线为 l，过点 F 的直线与抛物线交于两点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，点 P 在 l 上的射影为 P1，则( ) A若 x1x26，则|PQ|8 B以 PQ 为直径的圆与准线 l 相切 C设 M(0,1)，则|PM|PP1| 2 D过点 M(0,1)与抛物线 C 有且仅有一个公共点的直线至多有 2 条 答案 AB
8、C 解析 对于 A，因为 p2，所以 x1x22|PQ|，则|PQ|8，故 A 正确；对于 B，设 N 为 PQ 的中点，点 N 在 l 上的射影为 N1，点 Q 在 l 上的射影为 Q1，则由梯形性质可得|NN1|PP1|QQ1|2|PF|QF|2|PQ|2，故 B 正确；对于 C，因为 F(1,0)，所以|PM|PP1|PM|PF|MF| 2，故 C 正确；对于 D，显然直线 x0，y1 与抛物线只有一个公共点，设过 M 的直线为 ykx1，联立 ykx1，y24x，可得 k2x2(2k4)x10，令 0，则 k1，所以直线 yx1与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，故 D
9、错误故选 ABC. 二、填空题 9(2020 湖南湘潭高三下学期三模)若直线 2x4ym0 经过抛物线 y2x2的焦点，则 m_. 答案 12 解析 抛物线方程 y2x2可化为 x212y，故该抛物线的焦点坐标为0，18.由题意可得 20418m0，故 m12. 10(2020 辽宁沈阳三模)在平面直角坐标系 xOy 中，F 是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点，直线 y2b 与双曲线交于 B，C 两点，且BFC90 ，则该双曲线的离心率为_ 答案 3 55 解析 由题意可知 F(c,0)，把 y2b 代入双曲线方程可得 x 5a，不妨设B( 5 a,2b) ， C(5 a,2b)
10、 ， 因 为 BFC 90， 所 以 kBF kCF 1 ， 即2b 5ac2b5ac1，化简，得 4b25a2c2，因为 b2c2a2，所以c2a295，所以离心率 eca353 55. 11(2020 山东枣庄二调)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线 3xy4 30 过点 F1且与 C 在第二象限的交点为 P，若POF160 (O 为原点)，则 F2的坐标为_，C 的离心率为_ 答案 (4,0) 31 解析 直线 3xy4 30 与 x 轴交点为(4,0)，即 F1(4,0)，c4，F2(4,0)，又直线 3xy4 30 的斜率为 3，倾斜角为 6
11、0 ，而POF160 ， POF1是等边三角形，P(2,2 3)， 4a212b21，a2b2c216，解得 a22 3，b28 3， 离心率为 eca42( 31) 31. 12(2020 湖南师大附中摸底考试)点 M 是抛物线 C：x22py(p0)的对称轴与准线的交点，点 F 为抛物线 C 的焦点，点 P 在抛物线 C 上在FPM 中，sinPFMsinPMF，则 的最大值为_ 答案 2 解析 如图，过点 P 作准线的垂线，垂足为 B，则由抛物线的定义可得|PF|PB|，由 sinPFMsinPMF，在PFM 中由正弦定理可知|PM|PF|，所以|PM|PB|，所以1|PB|PM|，设
12、PM 的倾斜角为 ，则 sin1，当 取得最大值时，sin 最小，此时直线 PM 与抛物线相切，设直线 PM 的方程为 ykxp2，则 x22py，ykxp2，即 x22pkxp20，所以 4p2k24p20，所以 k 1，即 tan 1，则 sin22，则 的最大值为1sin 2. 三、解答题 13(2020 全国卷)已知 A，B 分别为椭圆 E：x2a2y21(a1)的左、右顶点，G 为 E 的上顶点， AG GB8， P 为直线 x6 上的动点， PA 与 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 D. (1)求 E 的方程； (2)证明：直线 CD 过定点 解 (1)依据题意作
13、出如下图象： 由椭圆方程 E：x2a2y21(a1)可得 A(a,0)，B(a，0)，G(0,1)， AG(a,1)，GB(a，1)AG GBa218，a29. 椭圆 E 的方程为x29y21. (2)证明：由(1)，得 A(3,0)，B(3,0)，设 P(6，y0)， 则直线 AP 的方程为 yy006(3)(x3)，即 yy09(x3)， 直线 BP 的方程为 yy0063(x3)，即 yy03(x3) 联立直线 AP 的方程与椭圆的方程可得 x29y21，yy09(x3)， 整理，得(y209)x26y20 x9y20810， 解得 x3 或 x3y2027y209. 将 x3y2027
14、y209代入 yy09(x3)可得 y6y0y209， 点 C 的坐标为3y2027y209，6y0y209. 同理可得，点 D 的坐标为3y203y201，2y0y201. 直线 CD 的方程为 y2y0y2016y0y2092y0y2013y2027y2093y203y201x3y203y201， 整理可得 y2y0y2014y03(3y20)x3y203y201， y4y03(3y20)x3y203y2012y0y2014y03(3y20)x32. 故直线 CD 过定点32，0 . 14(2020 山东莱西一中、高密一中、枣庄三中模拟)已知动圆与 y 轴相切于点 M(0,2)，过点 E(
15、0，1)，F(0，1)分别作动圆异于 y 轴的两切线，设两切线相交于 Q，点 Q 的轨迹为曲线 . (1)求曲线 的轨迹方程； (2)过(2,0)的直线 l 与曲线 相交于不同两点 A，B，若曲线 上存在点 P，使得 OPOAOB成立，求实数 的范围 解 (1)设过点 E，F 与动圆相切的切点分别为 C，D， 则|QC|QD|，|FD|FM|，|EC|EM|， 故|QE|QF|QE|QD|DF|QE|QC|FM|CE|FM|EM|FM|， 由 E，F，M 的坐标可知|EM|3，|FM|1， |QE|QF|4|EF|， 由椭圆的定义可知，点 Q 是以 E，F 为焦点，长轴长为 4 的椭圆(不包括
16、长轴端点) 设曲线 的方程为y2a2x2b21(ab0，x0)， 则 a2，c1，b23， 故曲线 的轨迹方程为y24x231(x0) (2)由题可知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 yk(x2)(k 1)， 由 y24x231，yk(x2)，消去 y 得(3k24)x212k2x12(k21)0， 144k448(3k24)(k21)0， 0k24 且 k21， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)， 则 x1x212k23k24，x1x212(k21)3k24， y1y2k(x1x24)k12k23k24416k3k24， OPOAOB，(x0，y0)(x1x2，y1y2)， x0 x1x212k23k24，y016k3k24. 当 0 时，k0，直线 l 为 x 轴，满足 OPOAOB. 当 0，k0 时，x01(x1x2)112k23k24，y01(y1y2)116k3k24， 代入椭圆方程得(16k)242(3k24)2(12k2)232(3k24)21， 化简得 216k23k241634k2， 0k24，且 k21，020，b0)的一个焦点为
