1、题组层级快练(五十四)1已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a，向量b，则与a，b不能构成空间基底的向量是()A.B.C. D.或答案C解析根据题意得(ab)，a，b共面2有4个命题：若pxayb，则p与a，b共面；若p与a，b共面，则pxayb；若xy，则P，M，A，B共面；若P，M，A，B共面，则xy.其中真命题的个数是()A1B2C3 D4答案B解析正确，中若a，b共线，p与a不共线，则pxayb就不成立正确中若M，A，B共线，点P不在此直线上，则xy不正确3从点A(2，1,7)沿向量a(8,9，12)的方向取线段长|AB|34，则B点坐标为()A(18,17，17) B(14
2、，19,17)C(6，1) D(2，13)答案A解析设B点坐标为(x，y，z)，则a(0)，即(x2，y1，z7)(8,9，12)由|34，即34，得2.x18，y17，z17.4已知G是ABC的重心，O是空间与G不重合的任一点，若，则等于()A1 B3C. D2答案B解析若设BC边的中点为M，则22223，而，所以3.5对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，且有xyz(x，y，zR)，则x2，y3，z2是P，A，B，C四点共面的()A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分又不必要条件答案B解析当x2，y3，z2时，即232，则23()2()，即32，根据共面向量定理，知
3、P，A，B，C四点共面；反之，当P，A，B，C四点共面时，根据共面向量定理mn，即m()n()，即(1mn)mn，即x1mn，ym，zn，这组数显然不止2，3,2.故是充分不必要条件故选B.6已知向量a(8，x，x)，b(x,1,2)，其中x0.若ab，则x的值为()A8 B4C2 D3答案B解析方法一：因x8,2,3时都不满足ab.而x4时，a(8,2,4)2(4,1,2)2b，ab.方法二：ab存在0使ab(8，x)(x，2)选B.7若向量a(1，2)，b(2，1,2)，且cosa，b，则()A2 B2C2或 D2或答案C解析由已知cosa，b，所以，解得2或.8已知四边形ABCD满足0，
4、0，0，0，则该四边形为()A平行四边形 B梯形C平面四边形 D空间四边形答案D解析由已知条件得四边形的四个外角均为锐角，但在平面四边形中任一四边形的外角和都是360，这与已知条件矛盾，所以该四边形是一个空间四边形9在正方体ABCDA1B1C1D1中，EF是异面直线AC与A1D的公垂线，则EF与BD1所成的角是()A90 B60C30 D0答案D解析如图所示，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为a，则A1(a,0，a)，D(0,0,0)，A(a,0,0)，C(0，a,0)，B(a，a,0)，D1(0,0，a)，(a,0，a)，(a，a,0)，(a，a，a)EF是直线AC与A1
5、D的公垂线，.设(x，y，z)，(x，y，z)(a,0，a)axaz0.(x，y，z)(a，a,0)axay0.a0，xyz.(x，x，x)，.，即BD1EF.10已知abc0，|a|2，|b|3，|c|，则向量a与b的夹角为()A30 B45C60 D以上都不对答案C解析abc，a2b22abc2.又|a|2，|b|3，|c|，ab|a|b|cosa，b3.cosa，b，a，b60.11已知两个非零向量a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，它们平行的充要条件是()A.Ba1b1a2b2a3b3Ca1b1a2b2a3b30D存在非零实数k，使akb答案D解析应选D，首先排除B，C项表
6、示ab，A项表示与a，b分别平行的单位向量，但两向量方向相反也叫平行12.在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为2，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，则异面直线OE与FD1所成角的余弦值为()A.B.C. D.答案B解析()，()()(22)(24)3.而|，|，cos，.故选B.13(2015云南昆明一模)一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是等边三角形，若该几何体的四个顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(0,0,0)，(2,0,0)，(2,2,0)，(0,2,0)，则第五个顶点的坐标为()A(1,1,1) B(1,1，)C(1,1，) D(2,2，
7、)答案C14.如图所示，在直三棱柱ABCABC中，ACBCAA，ACB90，D，E分别为AB，BB的中点(1)求证：CEAD；(2)求异面直线CE与AC所成角的余弦值答案(1)略(2)解析(1)设a，b，c，根据题意，|a|b|c|且abbcca0，bc，cba.c2b20.CEAD.(2)易知ac，|a|，|a|.(ac)(bc)c2|a|2.cos，.异面直线CE与AC所成角的余弦值为.15设向量a(3,5，4)，b(2,1,8)，计算2a3b,3a2b，ab以及a与b所成角的余弦值，并确定，的关系，使ab与z轴垂直答案2解析2a3b2(3,5，4)3(2,1,8)(12,13,16)，3
8、a2b3(3,5，4)2(2,1,8)(5,13，28)，ab(3,5，4)(2,1,8)32514821，|a|，|b|，cosa，b.(ab)(0,0,1)(32，5，48)(0,0,1)480，只要，满足2即可使ab与z轴垂直16已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA12，A1ABA1AD120.(1)求线段AC1的长；(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；(3)证明：AA1BD.答案(1)(2)(3)略解析(1)如图所示，设a，b，c，则|a|b|1，|c|2.ab0，acbc21cos1201.abc，|2(abc)2a2b2c22ab2ac2bc1122222.|.即AC1长为.(2)abc，bc，(abc)(bc)abacb2bcbcc2112222.又|2(bc)2b2c22bc1427，|.cos，.异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为.(3)c，ba，c(ba)cbca1(1)0.，即AA1BD.(2015上海奉贤二模)已知长方体ABCDA1B1C1D1，下列向量的数量积一定不为0的是()A. B.C. D.答案D解析当侧面BCC1B1是正方形时可得0，所以排除A.当底面ABCD是正方形时AC垂直于对角面BD1，所以排除B，显然也排除C.由题图可得BD1与BC所成的角小于90.故选D.
