1、2007年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（理科）全解全析本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷1至2页，第卷3至4页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第卷（选择题 共60分）参考公式：如果事件互斥，那么 球的表面积公式 如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径 球的体积公式如果事件在一次试验中发生的概率是，那么 次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合，则（ ）ABCD 解析：B2若函数的反函数图象过点，则函数的图象必过点（ ）ABCD解析：根
2、据反函数定义知反函数图像过（1，5），则原函数图像过点（5，1），选C3若向量与不共线，且，则向量与的夹角为（ ）A0BCD解析：因为，所以向量与垂直，选D4设等差数列的前项和为，若，则（ ）A63B45C36D27解析：由等差数列性质知S3、S6-S3、S9-S6成等差数列，即9，27，S成等差，所以S=45，选B5若，则复数在复平面内所对应的点在（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析：取=得=-1+i，第二象限，选B6若函数的图象按向量平移后，得到函数的图象，则向量（ ）ABCD解析：函数为，令得平移公式，所以向量，选A7若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中的真命
3、题是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则解析：由有关性质排除A、B、D，选C8已知变量满足约束条件则的取值范围是（ ）ABCD解析：画出可行域为一三角形，三顶点为（1，3）、（1，6）和（），表示可行域内的点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，当（x，y）=（1，6）时取最大值6，当（x，y）=（）时取最小值，选A9一个坛子里有编号为1，2，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（ ）ABCD解析：从中任取两个球共有种取法，其中取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的取法有种取法，概率为，选D
4、10设是两个命题：，则是的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：p：或，q：，结合数轴知是的充分而不必要条件，选A11设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（ ）ABCD解析：因为，设，根据双曲线定义得，所以，为直角三角形，其面积为，选B12已知与是定义在上的连续函数，如果与仅当时的函数值为0，且，那么下列情形不可能出现的是（ ）A0是的极大值，也是的极大值B0是的极小值，也是的极小值C0是的极大值，但不是的极值D0是的极小值，但不是的极值解析：根据题意和图形知当0是的极大值时，不是的极值是不可能的，选C第卷（非选择题 共90分）
5、二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13已知函数在点处连续，则 解析：因为在点处连续，所以，填-114设椭圆上一点到左准线的距离为10，是该椭圆的左焦点，若点满足，则= 解析：椭圆左准线为，左焦点为（-3，0），P（，由已知M为PF中点，M（，所以15若一个底面边长为，棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球的体积为 解析：根据条件正六棱柱的最长的对角线为球的直径，由得R=，球体积为16将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第个数为，若，则不同的排列方法有 种（用数字作答）解析：分两步：（1）先排，=2，有2种；=3有2种；=4有1种，共有5种；（2）再排，共有种，故不同
6、的排列方法种数为56=30，填30三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）已知函数（其中）（I）求函数的值域；（II）若对任意的，函数，的图象与直线有且仅有两个不同的交点，试确定的值（不必证明），并求函数的单调增区间本小题主要考查三角函数公式，三角函数图像和性质等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力（I）解： 5分由 得可知函数的值域为。7分（II）解：由题设条件及三角函数图像和性质可知，的周期为，又由，得，即得。9分于是有，再由，解得。所以的单调增区间为12分18（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点，为棱上
7、的点，二面角为（I）证明：；（II）求的长，并求点到平面的距离本小题主要考查空间中的线面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与思维能力（I）证明：连结，三棱柱是直三棱柱，平面，为在平面内的射影中，为中点，4分（II）解法一：过点作的平行线，交的延长线于，连结分别为的中点，又，平面，为在平面内的射影为二面角的平面角，在中，作，垂足为，平面，平面平面，平面在中，即到平面的距离为，平面，到平面的距离与到平面的距离相等，为解法二：过点作的平行线，交的延长线于，连接分别为的中点，又，平面，是在平面内的射影，为二面角的平面角，在中，8分设到平面的距离为，即到平面的距离为12分19（本小题满分12分）
8、某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本与产量的函数关系式为该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格与产量的函数关系式如下表所示：市场情形概率价格与产量的函数关系式好0.4中0.4差0.2设分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量，表示当产量为，而市场前景无法确定的利润（I）分别求利润与产量的函数关系式；（II）当产量确定时，求期望；（III）试问产量取何值时，取得最大值本小题主要考查数学期望，利用导数求多项式函数最值等基础知识，考查运用概率和函数知识建模解决实际问题的能力（I）解：由题意可得 同理可得4分（II）解：由期望定义可知8分（II
9、I）解：由（II）可知是产量的函数，设得令解得由题意及问题的实际意义可知，当时，取得最大值，即最大时的产量为10. 20（本小题满分14分）已知正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中为坐标原点，设圆是的内接圆（点为圆心）（I）求圆的方程；（II）设圆的方程为，过圆上任意一点分别作圆的两条切线，切点为，求的最大值和最小值本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力（I）解法一：设两点坐标分别为，由题设知解得，所以，或，设圆心的坐标为，则，所以圆的方程为4分解法二：设两点坐标分别为，由题设知又因为，可得即由，可知，故两点关于轴对称，所以圆心在轴
10、上设点的坐标为，则点坐标为，于是有，解得，所以圆的方程为4分（II）解：设，则8分在中，由圆的几何性质得，10分所以，由此可得则的最大值为，最小值为12分21（本小题满分12分）已知数列，与函数，满足条件：，.（I）若，存在，求的取值范围；（II）若函数为上的增函数，证明对任意，（用表示）解：（I）由题设知得。又已知，可得4分 4分由，可知，所以是等比数列，其首项为，公比为。于是，即。又存在，可得，所以且。8分（II）证明：因为，所以，即。下面用数学归纳法证明（）. (1) 当时，由为增函数，且，得，即，结论成立。10分(2) 假设时结论成立，即。由为增函数，得，即，进而得，即，这就是说当时，
11、结论也成立。根据（1）和（2）可知，对任意的，。12分22（本小题满分12分）已知函数，（I）证明：当时，在上是增函数；（II）对于给定的闭区间，试说明存在实数，当时，在闭区间上是减函数；（III）证明：本小题主要考察二次函数，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力。（I）证明：由题设得，。又由，且得，即。由此可知，在上是增函数。（II）因为是为减函数的充分条件，所以只要找到实数k，使得tk时，即在闭区间上成立即可。因为在闭区间上连续，故在闭区间上有最大值，设其为k，于是在tk时，在闭区间上恒成立，即在闭区间上为减函数。7分（III）设，即， 易得。9分令，则，易知。当时，；当时，。故当时，取最小值，。所以，于是对任意的，都有，即。12分
