1、 2021年浙江省高考数学试题一选择题1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 已知，(i为虚数单位)，则（ ）A. B. 1C. D. 33. 已知非零向量，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. B. 3C. D. 5. 若实数x，y满足约束条件，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 6. 如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（ ）A. 直线与直线垂直，直线平面B. 直线与直线平行，直线平面C. 直线与直线相交，直线平面D. 直线与直线异面，直线平面
2、7. 已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）A. B. C. D. 8. 已知是互不相同锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 39. 已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（ ）A. 直线和圆B. 直线和椭圆C. 直线和双曲线D. 直线和抛物线10. 已知数列满足.记数列前n项和为，则（ ）A. B. C. D. 二填空题11. 我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为，小正方形的面积为，则_.12. 已知，函
3、数若，则_.13. 已知多项式，则_，_.14. 在中，M是的中点，则_，_.15. 袋中有4个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则_，_.16. 已知椭圆，焦点，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是_，椭圆的离心率是_.17. 已知平面向量满足.记向量在方向上投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为_.三解答题18. 设函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在上的最大值.19. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，M，N分别为的中点，.（1）证明：；（2）求直线与平面所
4、成角的正弦值.20. 已知数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项；（2）设数列满足，记前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.21. 如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F的直线交抛物线与AB两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围.22. 设a，b为实数，且，函数（1）求函数的单调区间；（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围；（3）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足.(注：是自然对数的底数)2021年浙江省高考数学试题一选择题1. 设集合，则（ ）A
5、. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意结合交集的定义可得结果.【详解】由交集的定义结合题意可得：.故选：D.2. 已知，(i为虚数单位)，则（ ）A. B. 1C. D. 3【答案】C【解析】【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数的值.【详解】，利用复数相等的充分必要条件可得：.故选：C.3. 已知非零向量，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详解】如图所示，,当时，与垂直，所以成立，此时，不是的充分条件
6、，当时，,成立，是的必要条件，综上，“”是“”的必要不充分条件故选：B.4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. B. 3C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据三视图可得如图所示的几何体，根据棱柱的体积公式可求其体积.【详解】几何体为如图所示的四棱柱，其高为1，底面为等腰梯形，该等腰梯形的上底为，下底为，腰长为1，故梯形的高为，故，故选：A.5. 若实数x，y满足约束条件，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】画出满足条件的可行域，目标函数化为，求出过可行域点，且斜率为的直线在轴上截距的最大值即可.【详解】画出满足约束条件的可行域，如下图所
7、示：目标函数化为，由，解得，设，当直线过点时，取得最小值为.故选：B6. 如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（ ）A. 直线与直线垂直，直线平面B. 直线与直线平行，直线平面C. 直线与直线相交，直线平面D. 直线与直线异面，直线平面【答案】A【解析】【分析】由正方体间的垂直、平行关系，可证平面，即可得出结论.【详解】连，在正方体中，M是的中点，所以为中点，又N是的中点，所以，平面平面，所以平面.因为不垂直，所以不垂直则不垂直平面，所以选项B,D不正确；在正方体中，平面，所以，所以平面，平面，所以，且直线是异面直线，所以选项C错误，选项A正确.故选：A.【点睛】关键点点睛：熟练掌握正方体
8、中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或垂直，同一个面对角线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系.7. 已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.【详解】对于A，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；对于B，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；对于C，则，当时，与图象不符，排除C.故选：D.8. 已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】利用基本不
9、等式或排序不等式得，从而可判断三个代数式不可能均大于，再结合特例可得三式中大于个数的最大值.【详解】法1：由基本不等式有，同理，故，故不可能均大于.取，则，故三式中大于的个数的最大值为2，故选：C.法2：不妨设，则，由排列不等式可得：，而，故不可能均大于.取，则，故三式中大于的个数的最大值为2，故选：C.【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.9. 已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（ ）A. 直线和圆B. 直线和椭圆C. 直线和双曲线D. 直线和抛物线【答案】C【解析】【分析】首先利用等比数
10、列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.【详解】由题意得，即，对其进行整理变形：，所以或，其中为双曲线，为直线.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行恒等变形，提现了核心素养中的逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题.10. 已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】显然可知，利用倒数法得到，再放缩可得，由累加法可得，进而由局部放缩可得，然后利用累乘法求得，最后根据裂项相消法即可得到，从而得解【详解】因为，所以，由，即根据累加法可得，当且仅当时取等号，由累乘法可得，当且仅当时取等号
11、，由裂项求和法得：所以，即故选：A【点睛】本题解题关键是通过倒数法先找到的不等关系，再由累加法可求得，由题目条件可知要证小于某数，从而通过局部放缩得到的不等关系，改变不等式的方向得到，最后由裂项相消法求得二填空题11. 我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为，小正方形的面积为，则_.【答案】25【解析】【分析】分别求得大正方形的面积和小正方形的面积，然后计算其比值即可.【详解】由题意可得，大正方形的边长为：，则其面积为：，小正方形的面积：，从而.故答案为
12、：25.12. 已知，函数若，则_.【答案】2【解析】【分析】由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值.【详解】，故，故答案为：2.13. 已知多项式，则_，_.【答案】 (1). ; (2). .【解析】【分析】根据二项展开式定理，分别求出的展开式，即可得出结论.【详解】， ，所以，所以.故答案为：.14. 在中，M是的中点，则_，_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由题意结合余弦定理可得，进而可得，再由余弦定理可得.【详解】由题意作出图形，如图，在中，由余弦定理得，即，解得（负值舍去），所以，在中，由余弦定理得，所以；在中，由余弦定理得.故答案为：；.15. 袋中
13、有4个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则_，_.【答案】 (1). 1 (2). 【解析】【分析】根据古典概型的概率公式即可列式求得的值，再根据随机变量的分布列即可求出【详解】，所以，, 所以, 则由于故答案为：1；16. 已知椭圆，焦点，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是_，椭圆的离心率是_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】不妨假设，根据图形可知，再根据同角三角函数基本关系即可求出；再根据椭圆的定义求出，即可求得离心率【详解】如图所示：不妨假设，设切点为，所以, 由，所以，于是，即，所以故答案为：；17. 已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】设，由平面向量的知识可得，再结合柯西不等式即可得解.【详解】由题意，设，则，即，又向量在方向上的投影分别为
