1、 第1页（共22页） 2014 年全国统一高考数学试卷（文科） （大纲版）年全国统一高考数学试卷（文科） （大纲版） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设集合 M=1，2，4，6，8，N=1，2，3，5，6，7，则 MN 中元素的个数为（ ） A2 B3 C5 D7 2 （5 分）已知角 的终边经过点（4，3） ，则 cos=（ ） A B C D 3 （5 分）不等式组的解集为（ ） Ax|2x1 Bx|1x0 Cx|0 x1 Dx|x1 4 （5 分）已知正四面体 ABCD 中，E 是 AB 的中点，则异面直线 CE 与
2、BD 所成角的余弦值为（ ） A B C D 5 （5 分）函数 y=ln（+1） （x1）的反函数是（ ） Ay=（1ex）3（x1） By=（ex1）3（x1） Cy=（1ex）3（xR） Dy=（ex1）3（xR） 6 （5 分）已知 ， 为单位向量，其夹角为 60，则（2 ） =（ ） A1 B0 C1 D2 7 （5 分）有 6 名男医生、5 名女医生，从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ） A60 种 B70 种 C75 种 D150 种 8 （5 分）设等比数列an的前 n 项和为 Sn若 S2=3，S4=15，则 S6=（ ） A31 B3
3、2 C63 D64 9 （5 分）已知椭圆 C：+=1（ab0）的左、右焦点为 F1、F2，离心率为，过 F2的直线 l 交 C 于 A、B 两点，若AF1B 的周长为 4，则 C 的方 第2页（共22页） 程为（ ） A+=1 B+y2=1 C+=1 D+=1 10 （5 分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积为（ ） A B16 C9 D 11 （5 分）双曲线 C：=1（a0，b0）的离心率为 2，焦点到渐近线的距离为，则 C 的焦距等于（ ） A2 B2 C4 D4 12 （5 分）奇函数 f（x）的定义域为 R，若 f（x+2）为偶函数，
4、且 f（1）=1，则 f（8）+f（9）=（ ） A2 B1 C0 D1 二、填空题二、填空题( (本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分) ) 13 （5 分） （x2）6的展开式中 x3的系数是 （用数字作答） 14 （5 分）函数 y=cos2x+2sinx 的最大值是 15 （5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z=x+4y 的最大值为 16 （5 分）直线 l1和 l2是圆 x2+y2=2 的两条切线，若 l1与 l2的交点为（1，3） ，则 l1与 l2的夹角的正切值等于 三、解答题三、解答题 17 （10 分）数列an满足 a1=1，a2=2，an+2=2an
5、+1an+2 （）设 bn=an+1an，证明bn是等差数列； （）求an的通项公式 第3页（共22页） 18 （12 分）ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 3acosC=2ccosA，tanA=，求 B 19 （12 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，点 A1在平面 ABC 内的射影 D 在 AC上，ACB=90，BC=1，AC=CC1=2 （）证明：AC1A1B； （）设直线 AA1与平面 BCC1B1的距离为，求二面角 A1ABC 的大小 20 （12 分） 设每个工作日甲， 乙， 丙， 丁 4 人需使用某种设备的概率分别为 0.6，0.5，0.5，0.4
6、，各人是否需使用设备相互独立 （）求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率； （）实验室计划购买 k 台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于 k”的概率小于 0.1，求 k 的最小值 第4页（共22页） 21 （12 分）函数 f（x）=ax3+3x2+3x（a0） （）讨论 f（x）的单调性； （）若 f（x）在区间（1，2）是增函数，求 a 的取值范围 22 （12 分）已知抛物线 C：y2=2px（p0）的焦点为 F，直线 y=4 与 y 轴的交点为 P，与 C 的交点为 Q，且|QF|=|PQ| （）求 C 的方程； （） 过 F 的直线 l 与 C 相交于
7、 A、 B 两点， 若 AB 的垂直平分线 l与 C 相交于 M、N 两点，且 A、M、B、N 四点在同一圆上，求 l 的方程 第5页（共22页） 2014 年全国统一高考数学试卷（文科） （大纲版）年全国统一高考数学试卷（文科） （大纲版） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设集合 M=1，2，4，6，8，N=1，2，3，5，6，7，则 MN 中元素的个数为（ ） A2 B3 C5 D7 【考点】1A：集合中元素个数的最值；1E：交集及其运算菁优网版权所有 【专题】5J：集合 【分析】根
8、据 M 与 N，找出两集合的交集，找出交集中的元素即可 【解答】解：M=1，2，4，6，8，N=1，2，3，5，6，7， MN=1，2，6，即 MN 中元素的个数为 3 故选：B 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键 2 （5 分）已知角 的终边经过点（4，3） ，则 cos=（ ） A B C D 【考点】G9：任意角的三角函数的定义菁优网版权所有 【专题】56：三角函数的求值 【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得 cos 的值 【解答】解：角 的终边经过点（4，3） ，x=4，y=3，r=5 cos=， 故选：D 【点评】本题主要考查任意角的三角函数
9、的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题 第6页（共22页） 3 （5 分）不等式组的解集为（ ） Ax|2x1 Bx|1x0 Cx|0 x1 Dx|x1 【考点】7E：其他不等式的解法菁优网版权所有 【专题】59：不等式的解法及应用 【分析】解一元二次不等式、绝对值不等式，分别求出不等式组中每个不等式的解集，再取交集，即得所求 【解答】解：由不等式组可得 ，解得 0 x1， 故选：C 【点评】本题主要考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，属于基础题 4 （5 分）已知正四面体 ABCD 中，E 是 AB 的中点，则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为（ ） A B C D 【考点】
10、LM：异面直线及其所成的角菁优网版权所有 【专题】5G：空间角 【分析】由 E 为 AB 的中点，可取 AD 中点 F，连接 EF，则CEF 为异面直线 CE与 BD 所成角，设出正四面体的棱长，求出CEF 的三边长，然后利用余弦定理求解异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值 【解答】解：如图， 取 AD 中点 F，连接 EF，CF， E 为 AB 的中点， EFDB， 则CEF 为异面直线 BD 与 CE 所成的角， 第7页（共22页） ABCD 为正四面体，E，F 分别为 AB，AD 的中点， CE=CF 设正四面体的棱长为 2a， 则 EF=a， CE=CF= 在CEF 中，由余弦定理
11、得： = 故选：B 【点评】 本题考查异面直线及其所成的角， 关键是找角， 考查了余弦定理的应用，是中档题 5 （5 分）函数 y=ln（+1） （x1）的反函数是（ ） Ay=（1ex）3（x1） By=（ex1）3（x1） Cy=（1ex）3（xR） Dy=（ex1）3（xR） 【考点】4R：反函数菁优网版 权所有 【专题】51：函数的性质及应用 【分析】由已知式子解出 x，然后互换 x、y 的位置即可得到反函数 【解答】解：y=ln（+1） ， +1=ey，即=ey1， x=（ey1）3， 所求反函数为 y=（ex1）3， 第8页（共22页） 故选：D 【点评】本题考查反函数解析式的求解
12、，属基础题 6 （5 分）已知 ， 为单位向量，其夹角为 60，则（2 ） =（ ） A1 B0 C1 D2 【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算菁优网版权所有 【专题】5A：平面向量及应用 【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得、的值，可得（2 ） 的值 【解答】解：由题意可得，=11cos60=，=1， （2 ） =2=0， 故选：B 【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题 7 （5 分）有 6 名男医生、5 名女医生，从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ） A60 种 B70 种 C75 种 D150 种 【考点】D9：
13、排列、组合及简单计数问题菁优网版权所有 【专题】5O：排列组合 【分析】根据题意，分 2 步分析，先从 6 名男医生中选 2 人，再从 5 名女医生中选出 1 人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案 【解答】解：根据题意，先从 6 名男医生中选 2 人，有 C62=15 种选法， 再从 5 名女医生中选出 1 人，有 C51=5 种选法， 则不同的选法共有 155=75 种； 故选：C 第9页（共22页） 【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同 8 （5 分）设等比数列an的前 n 项和为 Sn若 S2=3，S4=15，则 S6=（ ） A3
14、1 B32 C63 D64 【考点】89：等比数列的前 n 项和菁优网版权所有 【专题】54：等差数列与等比数列 【分析】由等比数列的性质可得 S2，S4S2，S6S4成等比数列，代入数据计算可得 【解答】解：S2=a1+a2，S4S2=a3+a4=（a1+a2）q2，S6S4=a5+a6=（a1+a2）q4， 所以 S2，S4S2，S6S4成等比数列， 即 3，12，S615 成等比数列， 可得 122=3（S615） ， 解得 S6=63 故选：C 【点评】本题考查等比数列的性质，得出 S2，S4S2，S6S4成等比数列是解决问题的关键，属基础题 9 （5 分）已知椭圆 C：+=1（ab0
15、）的左、右焦点为 F1、F2，离心率为，过 F2的直线 l 交 C 于 A、B 两点，若AF1B 的周长为 4，则 C 的方程为（ ） A+=1 B+y2=1 C+=1 D+=1 【考点】K4：椭圆的性质菁优网版权所有 【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程 【分析】利用AF1B 的周长为 4，求出 a=，根据离心率为，可得 c=1，求出 b，即可得出椭圆的方程 第10页（共22页） 【解答】解：AF1B 的周长为 4， AF1B 的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a， 4a=4， a=， 离心率为， ，c=1， b=， 椭圆 C 的方程为+=1 故选：A
16、 【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题 10 （5 分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积为（ ） A B16 C9 D 【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离 【分析】 正四棱锥 PABCD 的外接球的球心在它的高 PO1上， 记为 O， 求出 PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积 【解答】解：设球的半径为 R，则 棱锥的高为 4，底面边长为 2， R2=（4R）2+（）2， R=， 球的表面积为 4（）2= 故选：A 第11页（共22页） 【点评】 本题考查球的表面积， 球的内接几何体问题， 考查计算能力， 是基础题 11 （5 分）双曲线 C：=1（a0，b0）的离心率为 2，焦点到渐近线的距离为，则 C 的焦距等于（ ） A2 B2 C4 D4 【考点】KC：双曲线的性质菁优网版权所有 【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程 【分析】 根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到结论
