1、高考数学总复习真题试题及解答分类汇编之概率、统计、统计案例、推理与证明一、选择题1（2018全国新课标文、理）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍实现翻番为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（ ）A新农村建设后，种植收入减少B新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C新农村建设后，养殖收入增加了一倍D新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半1。答案：A解答：由图可得，A选项，设建设前经济收入为，种植收入为.建设后经济收入则为2，种植收入则为，种植收入较之前增加另解：假设建
2、设前收入为，则建设后收入为，所以种植收入在新农村建设前为%，新农村建设后为；其他收入在新农村建设前为，新农村建设后为，养殖收入在新农村建设前为，新农村建设后为故不正确的是A.2（2018全国新课标文）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（ ）A B C D2【答案】D【解析】设2名男同学为，3名女同学为，从以上5名同学中任选2人总共有，共10种可能，选中的2人都是女同学的情况共有共，三种可能则选中的2人都是女同学的概率为，故选D3（2018全国新课标文）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金
3、支付的概率为（ ）A0.3 B0.4 C0.6 D0.73.答案：B解答：由题意.故选B.二、填空1（2018江苏）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 1【答案】90【解析】由茎叶图可知，5位裁判打出的分数分别为89，89，90，91，91，故平均数为2（2018江苏）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 2【答案】【解析】从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为3. （2018上海）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2
4、克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是_（结果用最简分数表示）4（2018全国新课标文）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是_14答案：分层抽样解答：由题意，不同龄段客户对其服务的评价有较大差异，故采取分层抽样法.三、解答题1（2018北京文）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影
5、的部数的比值（1）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（2）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率； （3）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加，哪类电影的好评率减少，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）1【答案】（1）；（2）；（3）增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率【解析】（1）由题意知，样本中电影的总部数是第四类电影中获得好评的电影部数是，故所求概率为（2）设“随机选取1部电影，这
6、部电影没有获得好评”为事件没有获得好评的电影共有部由古典概型概率公式得（3）增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率2（2018北京理）设n为正整数，集合A=对于集合A中的任意元素和，记M（）=（）当n=3时，若，求M（）和M（）的值；（）当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素，当相同时，M（）是奇数；当不同时，M（）是偶数求集合B中元素个数的最大值；（）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素，M（）=0写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由2（共14分）解：（）因为=（1，1，0），=（0，1，1），所以M(，)= (1+1|11|
7、)+(1+1|11|)+(0+0|00|)=2，M(，）= (1+0|10|)+(1+1|11|)+(0+1|01|)=1（）设=（x1，x 2，x3，x4）B，则M(，）= x1+x2+x3+x4由题意知x1，x 2，x3，x40，1，且M(，)为奇数，所以x1，x 2，x3，x4中1的个数为1或3所以B(1，0，0，0），（0，1，0，0)，（0，0，1，0)，（0，0，0，1)，（0，1，1，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，1)，(1，1，1，0).将上述集合中的元素分成如下四组： （1，0，0，0)，(1，1，1，0)；（0，1，0，0)，(1，1，0，1)；（0，0，1，0)
8、，（1，0，1，1)；（0，0，0，1)，（0，1，1，1).经验证，对于每组中两个元素，均有M(，）=1.所以每组中的两个元素不可能同时是集合B的元素所以集合B中元素的个数不超过4.又集合（1，0，0，0），（0，1，0，0），（0，0，1，0），（0，0，0，1)满足条件，所以集合B中元素个数的最大值为4.（）设Sk=( x1，x 2，xn）|( x1，x 2，xn）A，xk=1，x1=x2=xk1=0）（k=1，2，n)，Sn+1=( x1，x 2，xn）| x1=x2=xn=0，则A=S1S1Sn+1对于Sk（k=1，2，n1）中的不同元素，经验证，M(，)1.所以Sk（k=1，2 ，
9、n1）中的两个元素不可能同时是集合B的元素所以B中元素的个数不超过n+1.取ek=( x1，x 2，xn）Sk且xk+1=xn=0（k=1，2，n1）.令B=（e1，e2，en1）SnSn+1，则集合B的元素个数为n+1，且满足条件.故B是一个满足条件且元素个数最多的集合3（2018江苏）设，对1，2，n的一个排列，如果当st时，有，则称是排列的一个逆序，排列的所有逆序的总个数称为其逆序数例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2记为1，2，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数 （1）求的值；（2）求的表达式(用n表示)3【答案】（1）
10、2，5；（2）时，【解析】（1）记为排列的逆序数，对1，2，3的所有排列，有，所以，对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置因此，（2）对一般的的情形，逆序数为0的排列只有一个：，所以逆序数为1的排列只能是将排列中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以为计算，当1，2，的排列及其逆序数确定后，将添加进原排列，在新排列中的位置只能是最后三个位置因此，当时，因此，时，4（2018天津文）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160现采用分层抽样的方法从中抽取名同学去某敬老院参加献爱心活动（）应从甲、乙、
11、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率4【答案】（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人；（2）答案见解析；【解析】（1）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人（2）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为，共21种由（1），不妨设抽
12、出的7名同学中，来自甲年级的是，来自乙年级的是，来自丙年级的是，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为，共5种所以，事件发生的概率为5（2018全国新课标文）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量频数13249265使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量频数151310165（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；（3）估计该家庭使用
13、节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）5答案：略解答：（1）（2） 由题可知用水量在的频数为，所以可估计在的频数为，故用水量小于的频数为，其概率为.（3） 未使用节水龙头时，天中平均每日用水量为：，一年的平均用水量则为.使用节水龙头后，天中平均每日用水量为：，一年的平均用水量则为，一年能节省.6（2018全国新课标文、理）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模
14、型：；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型：（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由6【答案】（1）模型亿元，模型亿元；（2）模型，见解析【解析】（1）利用模型，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为（亿元）利用模型，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为（亿元）（2）利用模型得到的预测值更可靠理由如下：（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，201
