1、2013年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设集合A=1，2，3，B=4，5，M=x|x=a+b，aA，bB，则M中元素的个数为（）A3B4C5D62（5分）=（）A8B8C8iD8i3（5分）已知向量=（+1，1），=（+2，2），若（+）（），则=（）A4B3C2D14（5分）已知函数f（x）的定义域为（1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（）A（1，1）BC（1，0）D5（5分）函数f（x）=log2（1+）（x0）的反函数f1（x）=（）ABC2x1（xR）D2x1（x0）6
2、（5分）已知数列an满足3an+1+an=0，a2=，则an的前10项和等于（）A6（1310）BC3（1310）D3（1+310）7（5分）（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是（）A5B8C12D188（5分）椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是2，1，那么直线PA1斜率的取值范围是（）ABCD9（5分）若函数f（x）=x2+ax+是增函数，则a的取值范围是（）A1，0B1，+）C0，3D3，+）10（5分）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）ABCD11（5分）已知抛物线C：
3、y2=8x的焦点为F，点M（2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k=（）ABCD212（5分）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中不正确的是（）Ay=f（x）的图象关于（，0）中心对称BCDf（x）既是奇函数，又是周期函数二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13（5分）已知是第三象限角，sin=，则cot= 14（5分）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种（用数字作答）15（5分）记不等式组所表示的平面区域为D若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是 16（5分）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，则球
4、O的表面积等于 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）等差数列an的前n项和为Sn已知S3=a22，且S1，S2，S4成等比数列，求an的通项式18（12分）设ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（ab+c）=ac（）求B（）若sinAsinC=，求C19（12分）如图，四棱锥PABCD中，ABC=BAD=90，BC=2AD，PAB与PAD都是等边三角形（）证明：PBCD；（）求二面角APDC的大小20（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均
5、为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判（）求第4局甲当裁判的概率；（）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望21（12分）已知双曲线C：=1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为（I）求a，b；（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列22（12分）已知函数（I）若x0时，f（x）0，求的最小值；（II）设数列an的通项an=1+2013年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在
6、每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设集合A=1，2，3，B=4，5，M=x|x=a+b，aA，bB，则M中元素的个数为（）A3B4C5D6【考点】13：集合的确定性、互异性、无序性；1A：集合中元素个数的最值菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】利用已知条件，直接求出a+b，利用集合元素互异求出M中元素的个数即可【解答】解：因为集合A=1，2，3，B=4，5，M=x|x=a+b，aA，bB，所以a+b的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8，所以M中元素只有：5，6，7，8共4个故选：B【点评】本题考查集合中元素个数的最值
7、，集合中元素的互异性的应用，考查计算能力2（5分）=（）A8B8C8iD8i【考点】A5：复数的运算菁优网版权所有【分析】复数分子、分母同乘8，利用1的立方虚根的性质（），化简即可【解答】解：故选：A【点评】复数代数形式的运算，是基础题3（5分）已知向量=（+1，1），=（+2，2），若（+）（），则=（）A4B3C2D1【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系菁优网版权所有【专题】5A：平面向量及应用【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出【解答】解：，=（2+3，3），=0，（2+3）3=0，解得=3故选：B【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解
8、题的关键4（5分）已知函数f（x）的定义域为（1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（）A（1，1）BC（1，0）D【考点】33：函数的定义域及其求法菁优网版权所有【专题】51：函数的性质及应用【分析】原函数的定义域，即为2x+1的范围，解不等式组即可得解【解答】解：原函数的定义域为（1，0），12x+10，解得1x则函数f（2x+1）的定义域为故选：B【点评】考查复合函数的定义域的求法，注意变量范围的转化，属简单题5（5分）函数f（x）=log2（1+）（x0）的反函数f1（x）=（）ABC2x1（xR）D2x1（x0）【考点】4R：反函数菁优网版权所有【专题】51：函数的性质及应用【分析
9、】把y看作常数，求出x：x=，x，y互换，得到y=log2（1+）的反函数注意反函数的定义域【解答】解：设y=log2（1+），把y看作常数，求出x：1+=2y，x=，其中y0，x，y互换，得到y=log2（1+）的反函数：y=，故选：A【点评】本题考查对数函数的反函数的求法，解题时要认真审题，注意对数式和指数式的相互转化6（5分）已知数列an满足3an+1+an=0，a2=，则an的前10项和等于（）A6（1310）BC3（1310）D3（1+310）【考点】89：等比数列的前n项和菁优网版权所有【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列【分析】由已知可知，数列an是以为公比的等比数列，
10、结合已知可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求【解答】解：3an+1+an=0数列an是以为公比的等比数列a1=4由等比数列的求和公式可得，S10=3（1310）故选：C【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题7（5分）（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是（）A5B8C12D18【考点】DA：二项式定理菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】由题意知利用二项展开式的通项公式写出展开式的通项，令x的指数为2，写出出展开式中x2的系数，第二个因式y2的系数，即可得到结果【解答】解：（x+1）3的展开式的通项为Tr+1=C3rxr令r=2得到展开式
11、中x2的系数是C32=3，（1+y）4的展开式的通项为Tr+1=C4ryr令r=2得到展开式中y2的系数是C42=6，（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是：36=18，故选：D【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，本题解题的关键是写出二项式的展开式，所有的这类问题都是利用通项来解决的8（5分）椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是2，1，那么直线PA1斜率的取值范围是（）ABCD【考点】I3：直线的斜率；KH：直线与圆锥曲线的综合菁优网版权所有【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由椭圆C：可知其左顶点
12、A1（2，0），右顶点A2（2，0）设P（x0，y0）（x02），代入椭圆方程可得利用斜率计算公式可得，再利用已知给出的的范围即可解出【解答】解：由椭圆C：可知其左顶点A1（2，0），右顶点A2（2，0）设P（x0，y0）（x02），则，得=，=，=，解得故选：B【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、斜率的计算公式、不等式的性质等是解题的关键9（5分）若函数f（x）=x2+ax+是增函数，则a的取值范围是（）A1，0B1，+）C0，3D3，+）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有【专题】53：导数的综合应用【分析】由函数在（，+）上是增函数，可得0在（，+）上恒成立，进而可转
13、化为a2x在（，+）上恒成立，构造函数求出2x在（，+）上的最值，可得a的取值范围【解答】解：在（，+）上是增函数，故0在（，+）上恒成立，即a2x在（，+）上恒成立，令h（x）=2x，则h（x）=2，当x（，+）时，h（x）0，则h（x）为减函数h（x）h（）=3a3故选：D【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，是导数的综合应用，难度中档10（5分）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）ABCD【考点】MI：直线与平面所成的角菁优网版权所有【专题】15：综合题；16：压轴题；5G：空间角；5H：空间向量及应用【分析】设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，CD与平面BDC1所成角为，则sin=|，在空间
