1、1966年试题1.有红灯泡7只,绿灯泡5只.从这12只灯泡中,要选出5只.如果这5只中,至少有1只、至多有2只是绿灯泡,一共有多少种选法? Key 1.解:从12只灯泡中,选5只,如果其中有1只绿灯泡,4只红灯泡,那么,选法的种数为如果其中有2只绿灯泡,3只红灯泡,那么,选法的种数为所以一共有175+350=525种选法. 2.一个正四棱台的上底面每边长8尺,下底面每边长10尺,侧棱长6尺.分别表示棱台的高和上、下底面的面积.） Key 2.解法一:如图,已知AD=8,BC=10,CD=6.用O、O1表示上、下底面的中心,E、F表示AD、BC的中点.连结OO1、EF、OE和O1F,则OO1FE
2、为直角梯形.从E点作O1F的垂线,垂足为G,EG就是正四棱台的高.解法二:如图，已知AD=8,BC=10,AB=6.用O、O1表示上、下底面的中心.连结OO1、OA和O1B，则OO1BA为直角梯形.从A点作O1B的垂线，垂足为H,AH就是正四棱台的高. 3.如图,AC是一个山坡,它的倾斜角为.B是山坡AC上的一点,它和A点的距离是a米.从A和B测得山下平地上D点的俯角分别是和.求C、D两点间的距离. Key 3.解法一:如图,在ABD中,AB=a,BAD=-,BDA=-,由正弦定理,得解法二:如图,从D点作AC的垂线与AC的延长线交于E点.设DE=h.在直角三角形AED中,在直角三角形BED中
3、,由(1)、(2)可得在直角三角形CED中,由(3)、(4)可得 4.已知双曲线的方程为16x2-9y2+64x+18y-89=0. (1)求它的两个焦点的坐标. (2)一个圆通过这两个焦点并且与x轴交于两点,这两点的距离是8.求这个圆的方程. Key 4.解法一:(1)把所给方程按x、y配方,得16(x+2)2-9(y-1)2=144.令x+2=x,y-1=y,(1)得16x2-9y2=144,所以这个双曲线的两个焦点在新坐标系中的坐标,分别为由(1)可以求出这个双曲线的两个焦点在旧坐标系中的坐标,分别为(-7,1),(3,1)(2)设所求的圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2因为F1
4、(-7,1)、F2(3,1)在圆上,所以(7+a)2+(1-b)2=r2,(1)(3-a)2+(1-b)2=r2.(2)又由图不难看出b2+AM2=r2,就是b2+16=r2.(3)由(1)式减去(2)式,得(7+a)2-(3-a)2=0,就是10(2a+4)=0a=-2.代入(2)式,得(1-b)2+25=r2.(4)由(4)式减去(3)式,得(1-b)2-b2+9=0,就是10-2b=0.b=5.代入(4)式,得r2=41.因此,所求的圆的方程是(x+2)2+(y-5)2=41,或x2+y2+4x-10y-12=0.解法二:(1)同解法一.(2)如图,F1、F2为双曲线的两个焦点,A、B为
5、圆与x轴的两个交点,C为圆心.因为过C点与x轴垂直的直线必平分线段F1F2,且平分线段AB,所以常数.利用商高定理,由直角三角形ACM得到又由以上二式,得b=5,AC2=41.所以圆心C的坐标为(-2,5),圆的方程为(x+2)2+(y-5)2=41,或x2+y2+4x-10y-12=0.解法三:(1)同解法一.(2)由解法二的分析,可知M=(-2,0).又因AM=MB=4,所以A=(-6,0),B=(2,0).设所求的圆的方程为x2y2+Dx+Ey+F=0.因为(-6,0),(2,0),(3,1)在圆上,所以得到由(1),(2)消去F得到D=4.由此得F=-12,E=-10.因此,所求圆的方
6、程为x2+y2+4x-10y-12=0.解法四:(1)同解法一.(2)设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.(1)因为(-7,1),(3,1)两点都在圆上,所以把它们的坐标代入(1)得-7D+E+F+50=0,(2)3D+E+F+10=0.(3)在(1)内令y=0得x2+Dx+F=0.(4)设所求圆与x轴的交点为(,0),(,0),则与是(4)的两个根.因为两个点的距离是8,所以(-)2=64.又(-)2=(+)2-4,所以(+)2-4=64利用根与系数的关系,可以知道+=-D,=F.代入上式得D2-4F=64.(5)解方程组(2)、(3)、(5)得D=4,F=-12,E=-10.因
7、此,所求圆的方程为x2+y2+4x-10y-12=0. 5.解方程组: Key 5.解法一:(1)式两边平方并化简,得两边再平方,得(x+y)2-14(x+y)+49=4(x+1)(y+1).整理后得(x+y)2-18(x+y)-4xy+45=0.(3)把(2)和(3)组成方程组,并设u=x+y,v=xy,得从(5)式得v=u-15.代入(4)式并化简,得u2-22u+105=0.所以u=7,u=15.代入(5)式,得v=-8,v=0.所以就是解这两个方程组,得检验后可以知道,只有前两组数是原方程组的解.解法二:(1)式两边平方并化简,得两边再平方,得(x+y)2-14(x+y)+49=4(x
8、+1)(y+1).整理后得x2+y2-2xy-18x-18y+45=0.(3)由(2)式得代入(3)式并化简,得x4-22x3+97x2+120x=0.利用综合除法分解因式,得x(x+1)(x-15)(x-8)=0.因此x=0,-1,15,8.代入(4)式,得y=15,8,0,-1.就是检验后可以知道,原方程组的解是解法三:就是把(1)代入(2)并化简,得u2v2+4uv=0.所以uv=0,uv=-4.把上式分别与(1)式组成下列两个方程组:解这两个方程组,得就是所以检验后可以知道,只有前两组数是原方程组的解.解法四:(1)式两边平方并化简,得由(2)式得2(x+y)=xy+x+y+15.(4)比较(3)与(4)得,上面第二个式子不可能成立.因此,由此得解之,得经检验,这都是原方程组的解. 6.在ABC中,BC=a,CA=b,AB=c. (3)如果ABC不是等边三角形,求证:ABC与ABC这两个三角形不论它们的边怎样对应都不相似. Key 6.解:因为a、b、c是ABC的三边,所以b+ca,而两边开方,得以作成一个三角形.(3)不失一般性可以认为abc,并且至少有一个不等号成立.由于
