1、托勒密定理一些圆定理.doc定理图定理的内容 托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质 定理的提出一般几何教科书中的“托勒密定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。证明一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。） 在任意四边形ABCD中，作ABE使BAE=CAD ABE= ACD 因为ABEACD
2、所以 BE/CD=AB/AC,即BEAC=ABCD (1) 而BAC=DAE，ACB=ADE 所以ABCAED相似. BC/ED=AC/AD即EDAC=BCAD (2) (1)+(2),得 AC(BE+ED)=ABCD+ADBC 又因为BE+EDBD （仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”） 所以命题得证 复数证明 用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。 首先注意到复数恒等式： (a b)(c d) + (a d)(b c)
3、= (a c)(b d) ，两边取模，运用三角不等式得。 等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。 四点不限于同一平面。 平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。 二、设ABCD是圆内接四边形。 在弦BC上，圆周角BAC = BDC，而在AB上，ADB = ACB。 在AC上取一点K，使得ABK = CBD； 因为ABK + CBK = ABC = CBD + ABD，所以CBK = ABD。 因此ABK与DBC相似，同理也有ABD KBC。 因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD； 因此AKBD = AB
4、CD，且CKBD = BCDA； 两式相加，得(AK+CK)BD = ABCD + BCDA； 但AK+CK = AC，因此ACBD = ABCD + BCDA。证毕。 三、 托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)已知：圆内接四边形ABCD，求证：ACBDABCDADBC 证明：如图1，过C作CP交BD于P，使1=2，又3=4，ACDBCP得AC：BC=AD：BP，ACBP=ADBC 。又ACB=DCP，5=6，ACBDCP得AC：CD=AB：DP，ACDP=ABCD 。得 AC(BPD
5、P)=ABCDADBC即ACBD=ABCDADBC 推论1.任意凸四边形ABCD，必有ACBDABCD+ADBC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。 2.托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆、 推广托勒密不等式：四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。 简单的证明：复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模， 得不等式ACBD|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=ABCD+BCAD 注意： 1.等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-
6、d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。 2.四点不限于同一平面。 欧拉定理：在一条线段上AD上，顺次标有B、C两点，则ADBC+ABCD=ACBD塞瓦定理简介 塞瓦（Giovanni Ceva，16481734）意大利水利工程师，数学家。塞瓦定理载于塞瓦于1678年发表的直线论一书，也有书中说塞瓦定理是塞瓦重新发现。 具体内容塞瓦定理 在ABC内任取一点O， 直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 证法简介 （）本题可利用梅涅劳斯定理证明： ADC被直线BOE所截， (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=
7、1 而由ABD被直线COF所截， (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1 :即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 （）也可以利用面积关系证明 BD/DC=SABD/SACD=SBOD/SCOD=(SABD-SBOD)/(SACD-SCOD)=SAOB/SAOC 同理 CE/EA=SBOC/ SAOB AF/FB=SAOC/SBOC 得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点: 设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F， 根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=(CD*ctgA）/(CD*
8、ctgB）*(AE*ctgB)/(AE*ctgC)*(BF*ctgC)/(BF*ctgA)=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。 可用塞瓦定理证明的其他定理; 三角形三条中线交于一点（重心）:如图5 D , E分别为BC , AC 中点 所以BD=DC AE=EC 所以BD/DC=1 CE/EA=1 且因为AF=BF 所以 AF/FB必等于1 所以AF=FB 所以三角形三条中线交于一点 此外，可用定比分点来定义塞瓦定理： 在ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是=BL/LC、=CM/MA、=AN/NB。于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是=1。（注意
9、与梅涅劳斯定理相区分，那里是=-1） 塞瓦定理推论1.设E是ABD内任意一点，AE、BE、DE分别交对边于C、G、F，则(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1 因为(BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1，（塞瓦定理）所以 (BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=K（K为未知参数）且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K（K为未知参数）又由梅涅劳斯定理得：(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1 所以(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1 2.塞瓦定理角元形式 AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是： (sinBAD/sinDA
10、C)*(sinACF/sinFCB)*(sinCBE/sinEBA)=1 由正弦定理及三角形面积公式易证 3.如图，对于圆周上顺次6点A,B,C,D,E,F，直线AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是： (AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1 由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圆弦长与所对圆周角关系易证。 4.还能利用塞瓦定理证三角形三条高交于一点 设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，根据塞瓦定理逆定 理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=(CD*ctgA）/(CD*ctgB）*(AE*ctgB)/(AE*ctgC)*(BF*ctgC)/(AE*ctgB
11、)=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。梅涅劳斯定理 梅涅劳斯定理证明梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1。 或：设X、Y、Z分别在ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)= 证明一：过点A作AGBC交DF的延长线于G, 则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。 三式相乘得：(AF/FB)(BD/DC)(C
12、E/EA)=(AG/BD)(BD/DC)(DC/AG)=1 证明二：过点C作CPDF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF 所以有AF/FBBD/DCCE/EA=AF/FBFB/PFPF/AF=1 它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在ABC的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。 梅涅劳斯(Menelaus)定理证明三：过ABC三点向三边引垂线AABBCC， 所以AD：DB=AA：BB，BE：EC=BB：CC，CF：FA=CC：AA 所以(AF/FB)(BD/DC
13、)(CE/EA)=1 证明四：连接BF。 （AD：DB）（BE：EC）（CF:FA) =（SADF：SBDF）（SBEF：SCEF）（SBCF：SBAF） =（SADF：SBDF）（SBDF：SCDF）（SCDF：SADF） =1 此外，用定比分点定义该定理可使其容易理解和记忆： 在ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是=BL/LC、=CM/MA、=AN/NB。于是L、M、N三点共线的充要条件是=1。 第一角元形式的梅涅劳斯定理 如图：若E，F，D三点共线，则 (sinACF/sinFCB)(sinBAD/sinDAC)(sinCBA/sinABE)=1 即图中
14、的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积 该形式的梅涅劳斯定理也很实用 第二角元形式的梅涅劳斯定理 在平面上任取一点O，且EDF共线，则（sinAOF/sinFOB)(sinBOD/sinDOC)(sinCOA/sinAOE)=1。(O不与点A、B、C重合) 记忆ABC为三个顶点，DEF为三个分点 (AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1 （顶到分/分到顶）*（顶到分/分到顶）*（顶到分/分到顶）=1 空间感好的人可以这么记：（上1/下1）*（整/右）*（下2/上2）=1 实际应用为了说明问题，并给大家一个深刻印象，我们假定图中的A、B、C、D、E、F是六个旅游景点，各景点之间有公路相连。我们乘直升机飞到这些景点的上空，然后选择其中的任意一个景点降落。我们换乘汽车沿公路去每一个景点游玩，最后回到出发点，直升机就停在那里等待我们回去。 我们不必考虑怎样走路程最
