1、第一章行列式二元线性方程组：2222111211byaxabyaxa22211211aaaaD，2221211ababD，2211112babaD DDx1，DDy2排列的逆序数：ntitt1（it为排列nppp21中大于ip且排于ip前的元素个数）t为奇数奇排列，t为偶数偶排列，0t标准排列。n 阶行列式：nnnnnnijaaaaaaaaaaD212222111211)det(=nnppptaaa2121)1(t 为列标排列的逆序数定理 1：排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性推论：奇（偶）排列变为标准排列的对换次数为奇（偶）数定理 2：n 阶行列式可定义为nppptnaaaD2121)1
2、(=nnppptaaa2121)1(1D=DT，DT为 D 转置行列式(沿副对角线翻转，行列式同样不变)2互换行列式的两行(列)，行列式变号记作：jirr（jicc）DD推论：两行(列)完全相同的行列式等于零记作：jirr（jicc）0DD3行列式乘以 k 等于某行(列)所有元素都乘以k记作：krkDi（kckDi）推论：某一行(列)所有元素公因子可提到行列式的外面记作：krkDi（kckDi）4两行(列)元素成比例的行列式为零记作：krrij（kccij）0D5nnnnnininniiiiaaaaaaaaaaaaaaaD2121222221111211)()()(nnnnninniinnnn
3、ninniiaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD2121222211121121212222111211上式为列变换，行变换同样成立6把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变记作：jiikccc(jiikrrr)，D不变行列式的性质：注：任何注：任何 n 阶行列式总能利用行运算阶行列式总能利用行运算 ri+krj化为上化为上(下下)三角行列式三角行列式对角行列式nn212100，nnnn212)1(21)1(00上 D（下 DT）三角形行列式nnnnnnaaaaaaaaaD2211212221110若对kkkkkkkkkkkkbbbb
4、ccccaaaaD111111111111设nnnnijkkkkijbbbbbDaaaaaD1111211111)det()det(，若 2n 阶行列式nnddccbbaaD22，则有 D=D1D2有 D2n=(ad-bc)n余子式：n 阶行列式中把ija所在的第i行和第j列去掉后，余下 n-1 阶行列式代数余子式：ijjiijMA)1(引理：引理：n 阶行列式 D 中，若第i行所有元素除ija外都为零，则有ijijAaD 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘机之和推论：行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘机之和等于零定理 3：(代数余子式性质);
5、,0,1jijiDDAankijkjki当当或;,0,1jijiDDAankijjkik当当其中.,0,1jijiij当当范德蒙德行列式：113121122322213211111nnnnnnnnxxxxxxxxxxxxD1)(jinjixx证明用数学归纳法克拉默法则：设方程组nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111,，若01111nnnnaaaaD，则方程组有惟一解：DDxDDxDDxnn,2211，其中nnjnnjnjnnjjaaaabbaaaaD1,11,111,11,111),2,1(nj定理 4：若上线性方程组的系数行列式
6、0D，则方程组一定有惟一解；若无解或有两个不同解，则0D定理 5：若齐次线性方程组(bn=0)的系数行列式0D，则齐次线性方程组无非零解；若有非零解，则0D第二章矩阵及其运算n 阶单位矩阵(单位阵)：100010001EAAEEA对角矩阵(对角阵)：n00000021另可记作),diag(21n纯量阵：000000EAAE)(，AEA)(矩阵与矩阵相乘：若)(ija是一个sm矩阵，)(ijbB是一个ns矩阵，且ABC，则)(ijcC是一个nm矩阵，且mibababacsjisjijiij,2,1(2211;),2,1nj若BAAB，称A与B是可交换的矩阵转置：若)(ija，则)(TjiaTTT
7、)(BABA，TTT)(ABAB若TAA，A为对称阵对称阵方阵的行列式：n 阶方阵A元素构成的行列式，记A或AdetijA为行列式A中对应元素的代数余子式伴随矩阵：nnnnnnAAAAAAAAA212221212111*AEAAAAA*方阵行列式的运算规律：1AAT；2AAn；3BAAB，11A AA A逆矩阵：若EBAAB，则A可逆，且称B为A的逆矩阵，记B=A-1，A的逆阵是唯一的定理 1：若矩阵A可逆，则0A定理 2：若0A，则矩阵A可逆，且*AAA11奇异矩阵：当0A时，A称为奇异矩阵矩阵A可逆的充要条件：0A，即矩阵A是非奇异矩阵。运算规律：1AA11)(；2111)(AA；3111
8、)(ABAB；4TTAA)()(11矩阵A的 m 次多项式：mmaaaaAAAEA2110)()()()()(AAAAff，多项式可相乘或分解因式1若1PPA，则1PPkkA，1)()(P P P PA A2),diag(21n（对角阵），则),diag(21knkkk,)(,),(),(diag()(21nA A加减相乘与矩阵相同。分 块 矩 阵的 运 算 规律：若srsrAAAAA1111，则TT1T1T11TsrsrAAAAA分块对角矩阵：（其中A以及iA均为方阵）sA0A0AA21，若0A，则11211sA0A0AA1性质：sAAAA21，且),2,1(0siiA，则0A行向量：TT2
9、T1mnmA，),(21Tiniiiaaa列向量：),(21naaaAmjjjaaa21jaTT22T11mmnmmA),(2211nnnaaaA若0AAT，则0A 第三章矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换：初等行(列)变换：1jirr(jicc)；2kri(kci)（0k）；3jikrr(jikcc)矩阵间等价：行等价：B BA A；列等价：B BA A；等价：B BA A（矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B）行阶梯型矩阵：阶梯线下为零，一行一台阶，竖线后非零元。行最简形矩阵：竖线后非零元为 1，同列其它元为0标准型：nmr0 00 00 0E EF F或rE EF F矩阵nmA
10、A经初等变换总能化为标准型F Frc等价类：所有等价矩阵组成的集合，标准型为其中形状最简单矩阵。初等矩阵：单位矩阵E经一次初等变换所得矩阵 E(f)（f 为变换规则）：1),(jiE E：jirr(jicc)；2)(kiE E：kri(kci)（0k）；3)(kijE E：jikrr(jickc)定理 1：矩阵 A 初等行变换，初等矩阵左乘 E(f)A；初等列变换，初等矩阵右乘 AE(f)方阵 A 可逆的充要条件：存在有限个初等矩阵 E1(f)。E2(f)，El(f)，使 A=E1(f)E2(f)El(f)定理 2：推 论1：方 阵A可 逆E EA A推论 2：B BA A存在可逆矩阵P P与
11、 Q，使 PAQ=B方阵 A 可逆，则(A，E)(E，A-1)(A，B)(E，A-1B)，bx A A，x=A-1b(A，b)(E，x)重要性质：重要性质：11C CA AE EC CA AC CA AY Yc或)(,(),()()(TTTTTTTTC CA AE EC CA AC CA AC CA AY Y1 11 11 1r矩阵的秩：标准型 F 中非零行的行数 r，记 R(A)且 r+1 阶子式全等于零，r 阶非零子式称 A 的最高阶非零子式。矩 阵 A的 k 阶子式：取 A 中 k 行与 k 列交叉处的 k2个元素且不改变对应位置组成的 k 阶行列式。定义：零矩阵的秩为 0；满秩矩阵（可
12、逆矩阵），降秩矩阵（不可逆即奇异矩阵）。0R(Amn)minm，n；R(AT)=R(A)；若BA，则 R(A)=R(B)；若 P、Q 可逆，则R(PAQ)=R(A)；maxR(A)，R(B)R(A，B)R(A)+R(B)，特例，当 B=b 为列向量时，有 R(A)R(A，b)R(A)+1；矩阵秩的性质：R(A+B)R(A)+R(B)；R(AB)minR(A)，R(B)；若 AmnBnl=0，则 R(A)+R(B)n定理 4：n元线性方程组bx A A（i）无解的充分必要条件是),()(b bA AA ARR；（ii）有惟一解的充分必要条件是nRR),()(b bA AA A；（iii）有无限多
13、解的充分必要条件是nRR),()(b bA AA A线性方程组有解，称它相容；无解，就称它不相容定理 5：线性方程组b bA Ax x有解的充要条件是),()(b bA AA ARR定理 6：n元齐次线性方程组0 0A Ax x有非零解的充要条件是nR)(A定理 7：矩阵方程B BA AX X有解的充要条件是),()(BAARR定理 8：设C CA AB B，则)(),(min)(BACRRR定理 9：矩阵方程O OX XA Alnnm只有零解的充要条件是nR)(A第四章向量组的线性相关性注：列向量用黑体小写字母a a、b b、等表示，行向量则用Ta a、Tb b、T、T 等表示，若无指明均当
14、列向量向量 b 能由向量组 A 线性表示线性表示：b=1a1+2a2+mam(i为实数)或可记为A Ax xb b(x 为一列向量)n 维向量维向量(组)：向量(组中每个向量)由 n 个数组成。向量组等价：两向量组能相互线性表示向量组 A 线性相关线性相关：k1a1+k2a2+kmam=0（ki不全为 0)，反之线性无关。定义：向量组的秩：从向量组 A 中可选出 r 个向量线性无关，且任意 r+1 向量都线性相关，r 为秩，记 RA性质：矩阵 A 与 B 行等价，则 A 的行向量组与 B 的行向量组等价；列等价，则列向量组等价定理 1：向量 b 能由向量组 A：a1，a2，am线性表示的充要条
15、件是 R(A)=R(A，b)定理 2：向量组 B：b1，b2，bl能由向量组 A：a1，a2，am线性表示的充要条件是 R(A)=R(A，B)推论：向量组 A：a1，a2，am与向量组 B：b1，b2，bl等价的充要条件是 R(A)=R(B)=R(A，B)定理 3：若向量组 B：b1，b2，bl能由向量组 A：a1，a2，am线性表示，则 R(B)R(A)逆阵推广：n 维单位坐标向量组维单位坐标向量组 E：e1，e2，el能由 n 维向量组 A：a1，a2，am线性表示的充要条件是R(A)=n定理 4：向量组 A：a1，a2，am线性相关的充要条件是 R(A)0 时一定线性相关。设向量组 A：
16、a1，a2，am线性无关，而向量组 B：a1，am，b 线性相关，则向量 b 必能由向量组 A 线性表示，且表示式是唯一的。定理 6：矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩推论：由向量组 A 中部分向量组成向量组 A0，若满足 A0线性无关且 A 中任一向量都能由 A0线性表示，则向量组 A0便是向量组 A 的一个最大无关组定理 7：设nm矩阵 A 的秩 R(A)=r，则 n 元齐次线性方程组0 0A Ax x的解集 S 的秩 RS=nr解的结构：方程0 0A Ax x通解：x=k11+k22+ktt；方程b bA Ax x通解：x=k11+k22+ktt+*基础解系，t=n-r非空，封闭（加法、数乘运算均在集合内进行）的 n 维向量的集合称向量空间由线性无关线性无关向量组 a1，a2，ar(基)所生成的 r 维(维数)向量空间为：V=x=1a1+2a2+rar|1，2，rR，i称为 x 在基 a1，a2，ar中的坐标，若基取单位坐标向量组，则该基称自然基自然基。向量空间：空间向量 V 的基就是向量组的最大无关组，V 的维数就是向量组的秩。变换公式：基变换公式：B=AP；
