1、极限的求法极限的求法1、利用极限的定义求极限2、直接代入法求极限3、利用函数的连续性求极限4、利用单调有界原理求极限5、利用极限的四则运算性质求极限6. 利用无穷小的性质求极限7、无穷小量分出法求极限8、消去零因子法求极限9、 利用拆项法技巧求极限10、换元法求极限11、利用夹逼准则求极限12、利用中值定理求极限13、 利用罗必塔法则求极限14、利用定积分求和式的极限15、利用泰勒展开式求极限16、分段函数的极限1、利用极限的定义求极限用定义法证明极限，必须有一先决条件，即事先得知道极限的猜测值A，这种情况一般较困难推测出，只能对一些比较简单的数列或函数推测分析出极限值，然后再去用定义法去证明
2、，在这个过程中，放缩法和含绝对值的不等式总是密切相连的。例：的- 定义是指：0， =(，)0，0|x-|f(x)-A| 为了求 可先对的邻域半径适当限制， 如然后适当放大f(x)-A(x) (必然保证(x)为无穷小)，此时往往要用含绝对值的不等式：x+a=|(x-)+(+a)|x-|+|+a|+a+1域|x+a|=|(x-)+(+a)|+a|-|x-|+a|-1从(x)2，求出2后，取min(1，2)，当0|x- | 时，就有|f(x)-A|.例：.其中，。2、 直接代入法求极限适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为 例 1. 求 . 分析 由于 , 所以采用直接代入法. 解 原式= 3、
3、利用函数的连续性求极限定理：一切连续函数在其定义区间内的点处都连续，即如果是函数的定义区间内的一点，则有。一切初等函数在其定义域内都是连续的，如果是初等函数，是其定义域内一点，则求极限时，可把代入中计算出函数值，即=。对于连续函数的复合函数有这样的定理：若在连续且，在处连续，则复合函数在处也连续，从而或。例：解：复合函数在处是连续的，即有4、利用单调有界原理求极限这种方法是利用定理:单调有界数列必有极限，先判断极限存在，进而求极限。例：求解：令，则， ，即，所以数列单调递增，由单调有界定理知，有限，并设为，即，所以。5、利用极限的四则运算性质求极限定理：若极限和都存在，则函数，当时也存在且又若
4、c0，则在时也存在，且有.利用该种方法求极限方法简单，但要注意条件是每项或每个因子极限存在， 一般情况所给的变量都不满足这个条件， 例如出现， 等情况，都不能直接运用四则运算法则，必须对变量进行变形。变形时经常用到因式分解、有理化的运算以及三角函数的有关公式。总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。例：求解：由于当时，与的极限都不存在，故不能利用“极限的和等于和的极限”这一法则，先可进行化简这样得到的新函数当时，分子分母都有极限且分母的极限不为零，可用商的极限法则，即例2. 求。解6. 利用无穷小的性质求极限我们知道在某一过程中无穷大量的倒数是无穷小量，有界变量乘
5、无穷小是无穷小，对一些特殊的函数而言用其他方法很难求得，只能用这种方法来求。例：求解：当时，分母的极限为零，而分子的极限不为零，可先求处所给函数倒数的极限，故。例5 求极限 分析 因为 不存在,不能直接使用运算法则, 故必须先将函数进行恒等变形. 解 原式= (恒等变形) 因为 当 时, , 即 是当 时的无穷小,而 1, 即 是有界函数,由无穷小的性质：有界函数乘无穷小仍是无穷小, 得 =0. 7、无穷小量分出法求极限适用于分子、分母同时趋于 ,即 型未定式例3分析 所给函数中，分子、分母当 时的极限都不存在，所以不能直接应用法则.注意到当 时，分子、分母同时趋于 ，首先将函数进行初等变形，
6、即分子、分母同除 的最高次幂，可将无穷小量分出来，然后再根据运算法则即可求出极限. 为什么所给函数中,当 时，分子、分母同时趋于 呢?以当 说明：因为 ,但是 趋于 的速度要比 趋于 的速度快，所以 .不要认为 仍是 (因为 有正负之分). 解 原式 (分子、分母同除 ) （运算法则） （当 时， 都趋于 .无穷大的倒数是无穷小.） 8、消去零因子法求极限适用于分子、分母的极限同时为0,即 型未定式例4分析 所给两个函数中,分子、分母的极限均是0,不能直接使用法则四,故采用消去零因子法. 解 原式= (因式分解) = (约分消去零因子 ) = (应用法则) = 9、 利用拆项法技巧求极限例6：
7、分析：由于=原式=10、换元法求极限当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时，可采用换元的方法加以变形，使之简化易求。例: 求 解：令 则 例7 求极限 . 分析 当 时,分子、分母都趋于 ,不能直接应用法则,注意到 ,故可作变量替换. 解 原式 = = (令 ,引进新的变量,将原来的关于 的极限转化为 的极限.) = . ( 型,最高次幂在分母上) 11、利用夹逼准则求极限 已知为三个数列，且满足：（1） ；（2） ，。则极限一定存在，且极限值也是 ，即。利用夹逼准则求极限关键在于从的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个同极限值的数列使得。例：，求的极限解：因为单调递减，所以存在最大项
8、和最小项 则又因为，则。12、利用中值定理求极限(1)微分中值定理：若函数 满足在连续，在(a，b)可导；则在(a，b)内至少存在一点，使得。 例：求 解：， (2)积分中值定理：设函数在闭区间上连续； 在上不变号且可积，则在上至少有一点使得例：求 解： =013、 利用罗必塔法则求极限定理:假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数和满足： （1）和的极限都是0或都是无穷大； （2）和都可导，且的导数不为0； （3）存在（或是无穷大）；则极限也一定存在，且等于，即= 。洛必达法则只能对型才可直接使用，其他待定型必须先化成这两种类型之一，然后再应用洛必达法则。洛必达法则只说明当等于 A
9、时，那么也存在且等于A. 如果不存在时，并不能断定也不存在，只是这是不能用洛必达法则，而须用其他方法讨论。例：求 解：由知 所以上述极限是待定型14、利用定积分求和式的极限 利用定积分求和式的极限时首先选好恰当的可积函数。把所求极限的和式表示成在某区间上的待定分法（一般是等分）的积分和式的极限。例：求解：由于 = 可取函数 ，区间为，上述和式恰好是 在上等分的积分和。 所以 15、利用泰勒展开式求极限 泰勒展开式：若在x=0点有直到n+1 阶连续导数，那么其中 (其中) 例： 解：泰勒展开式， 于是 所以16、分段函数的极限例8 设 讨论 在点 处的极限是否存在. 分析 所给函数是分段函数, 是分段点, 要知 是否存在,必须从极限存在的充要条件入手. 解 因为 所以 不存在. 注1 因为 从 的左边趋于 ,则 ,故 . 注2 因为 从 的右边趋于 ,则 ,故 . 20
